Monomorfizm

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów zachodzi

Diagram przemienny monomorfizmu
[1].

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje monomorfizm jako homomorfizm różnowartościowy (iniektywny). Każdy monomorfizm w ten sposób zdefiniowany jest monomorfizmem w sensie teorii kategorii; mimo wszystko istnieją kategorie, w których się one nie pokrywają. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm.

Związek z odwracalnościąEdytuj

Przekształcenia lewostronnie odwracalne są monomorfizmami: jeśli   jest lewostronną odwrotnością   tzn.   to   jest monomorfizmem, gdyż

 

Przekształcenia lewostronnie odwracalne nazywa się sekcjami albo koretrakcjami.

Przekształcenie   jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie indukowane   zdefiniowane dla wszystkich morfizmów   wzorem   jest różnowartościowe dla wszystkich  

Monomorfizm normalnyEdytuj

Monomorfizm jest normalny, jeśli jest jądrem jakiegoś morfizmu. Jeśli każdy monomorfizm pewnej kategorii jest normalny, to nazywamy ją kategorią normalną[2].

W kategorii Gr każdy monomorfizm można utożsamić z włożeniem homomorficznym jednej grupy w drugą. Monomorfizm ten jest normalny, jeśli obraz grupy wkładanej jest dzielnikiem normalnym tej drugiej. Dlatego kategoria Gr nie jest normalna. Natomiast kategorie Ab i Vect są kategoriami normalnymi.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 49.
  2. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 250.

BibliografiaEdytuj

  • Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  • Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  • Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].