Naprężenie

Naprężenie – w mechanice ośrodków ciągłych jest wielkością fizyczną określającą siły wewnętrzne w wybranym punkcie. Naprężenie w wybranym punkcie określa się rozpatrując przekrój ciała przez ten punkt i siły działające między częściami przekroju.

Fragment kątomierza z tworzywa sztucznego. Kolorowe wzory ilustrują rozkład naprężeń.

DefinicjaEdytuj

Naprężeniem   w punkcie przekroju nazywa się wielkość określoną wzorem:

 

Wektor naprężenia można rozłożyć na składową styczną i prostopadłą do przekroju:

 

gdzie:

  – wypadkowy wektor naprężenia,
  – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię  
  – pole przekroju,
  – wartość składowej normalnej (prostopadłej do przekroju),
 wektor normalny do powierzchni,
  – składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju).

Jednostką naprężenia w układzie SI jest paskal.

Kartezjański układ współrzędnychEdytuj

 
Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała[1] można przyjąć (zaczepić) dowolnie zorientowany, kartezjański układ współrzędnych, w którym to układzie określa się składowe stanu naprężenia w tym punkcie. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do osi przyjętego układu, można wyznaczyć, względem tych płaszczyzn, dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:

 

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest „na zewnątrz” otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład w przypadku „górnej” powierzchni sześcianu (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi   można napisać:

 ,

gdzie:

 wersor osi  , a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni;
  – wersory osi odpowiednio   i  

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:

 .

W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne:   przy czym  

Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.

Zapis tensorowyEdytuj

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia   reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).

Badając pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909[2]), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest:  

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

  lub
 

gdzie:

  – naprężenia normalne,
  – naprężenia ścinające (styczne).

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawoweEdytuj

Każdy stan naprężenia można zawsze rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator (tensor kulisty) – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – wywołuje tylko zmianę objętości (gęstości) ciała.
Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – wywołuje tylko zmianę postaci ciała: sześcian zmienia się w dwuskośny równoległościan bez zmian długości krawędzi[2].
   
gdzie:
 

Niezmienniki stanu naprężeniaEdytuj

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki[3], czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych

 
 
 

w których przez   oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.

Osobny artykuł: Naprężenie główne.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Rozważając stan naprężenia w punkcie ciała, jako punkt można rozumieć w tym przypadku jego otoczenie w postaci sześcianu elementarnego - czyli o nieskończenie małej krawędzi
  2. a b Andrzej Gawęcki: Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych. Alma Mater, 2003, s. część 1, s. 3, 10.
  3. A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 1985, s. 36.

Linki zewnętrzneEdytuj