Otwórz menu główne
Fragment kątomierza z tworzywa sztucznego. Kolorowe wzory ilustrują rozkład naprężeń.

Naprężenie – miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych, występujących w pewnym punkcie przekroju ośrodka ciągłego. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie (całkowite) w dowolnym punkcie przekroju zależy od kierunku normalnej zewnętrznej do tego przekroju oraz wartości i kierunku działającej na niego elementarnej siły Naprężenie oblicza się ze wzoru

Wektor ten można rozłożyć na dwie składowe:

gdzie:

– wypadkowy wektor naprężenia,
– wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię ,
– pole przekroju,
– składowa normalna (prostopadła do przekroju),
wektor normalny do powierzchni,
– składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju).

Spis treści

Kartezjański układ współrzędnychEdytuj

 
Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia[1], można wprowadzić dowolnie zorientowany prostokątny, kartezjański układ współrzędnych. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do tych osi, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:

 

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest "na zewnątrz" otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni „górnej” (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi   można napisać:

 

gdzie:

 wersor osi   a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni;
  – wersory osi odpowiednio   i  

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:

 
 
 

W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne:   przy czym  

Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.

Zapis tensorowyEdytuj

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia   reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).

Badając pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909[2]), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest:  .

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

    lub    

gdzie:

  – naprężenia normalne,
  – naprężenia ścinające (styczne).

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawoweEdytuj

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – opisuje zmianę objętości (gęstości) ciała.
Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – opisuje zmianę postaci ciała.
 
gdzie:
 

Niezmienniki stanu naprężeniaEdytuj

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki[3], czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych

 
 
 

w których przez   oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.

Osobny artykuł: Naprężenie główne.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Rozważając punkt, ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.
  2. Andrzej Gawęcki: Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych. Alma Mater, 2003, s. część 1, s. 3, 10.
  3. A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wyd. Politechniki Poznańskiej 1985, s. 36.

Linki zewnętrzneEdytuj