Nierówność Cauchy’ego-Schwarza

nierówność w matematyce na sumach lub wektorach

Nierówność Cauchy’ego-Schwarza – podstawowa własność iloczynu skalarnego w przestrzeni unitarnej. Nierówność ta znana jest także pod wieloma innymi nazwami: Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza.

Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy’ego[1], odpowiadająca jej nierówność dla całek została przedstawiona przez Wiktora Jakowlewicza Buniakowskiego w 1859 roku i odkryta na nowo w 1888 roku przez Hermanna Amandusa Schwarza.

NierównośćEdytuj

Jeżeli   oznacza iloczyn skalarny wektorów   danej przestrzeni unitarnej   to nierównością Schwarza nazywa się nierówność

 

lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność

 

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   i  liniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar   że zachodzi   lub  

PrzykładyEdytuj

Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności:

  • w przestrzeni euklidesowej   z euklidesowym iloczynem skalarnym   otrzymuje się nierówność
     
co można zapisać zwięźlej w postaci
 
  • w przestrzeni   funkcji ciągłych na odcinku   z iloczynem skalarnym danym wzorem   dostaje się
     
  • dla funkcji   z przestrzeni L2(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn   należy do przestrzeni L1(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz
     

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest równoważna nierówności Höldera dla   Nierówność dla   można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.

DowódEdytuj

Nierówność jest spełniona dla   zatem można przyjąć, że   Dla dowolnej liczby zespolonej   jest

 

Wybierając

 

otrzymuje się nierówność

 

która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

 

co z uwagi na równość

 

jest tożsame

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Nierówność Cauchy’ego–Schwarza, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-03].