Nierówność Cauchy’ego-Schwarza

Nierówność Cauchy’ego-Schwarza, Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza – ograniczenie górne na iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni unitarnej wykorzystujące iloczyn norm tych wektorów, jedna z najczęściej stosowanych nierówności w matematyce.

Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy’ego. Odpowiadająca jej nierówność całkowa została podana niezależnie przez Wiktora Buniakowskiego i Hermanna Schwarza, odpowiednio w 1859 i w 1888 roku.

Nierówność

Jeżeli $\langle x,y\rangle$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $x,y$ danej przestrzeni unitarnej $X,$ to nierównością Schwarza nazywa się nierówność

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leqslant \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle ,$

lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność

$|\langle x,y\rangle |\leqslant \|x\|\|y\|,$

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ i $y$ są liniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar $\mathrm {r} ,$ że zachodzi $x=\mathrm {r} y$ lub $y=\mathrm {r} x.$

Przykłady

Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności:

• w przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}$ z euklidesowym iloczynem skalarnym $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}$ otrzymuje się nierówność

  $(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leqslant \left(x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}\right),$

co można zapisać zwięźlej w postaci

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leqslant \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right);$

• w przestrzeni $C[0,1]$ funkcji ciągłych na odcinku $[0,1]$ z iloczynem skalarnym danym wzorem $\int f(x)g(x)\operatorname {d} x$ dostaje się

  $\left|\int f(x)g(x)\operatorname {d} x\right|^{2}\leqslant \int |f(x)|^{2}\operatorname {d} x\int |g(x)|^{2}\operatorname {d} x;$

• dla funkcji $f,g$ z przestrzeni L²(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn $fg$ należy do przestrzeni L¹(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz

  $\|fg\|_{1}\leqslant \|f\|_{2}\|g\|_{2}.$

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest równoważna nierówności Höldera dla $p=q=2.$ Nierówność dla $\mathbb {R} ^{n}$ można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.

Dowód

Nierówność jest spełniona dla $y=0,$ zatem można przyjąć, że $\langle y,y\rangle \neq 0.$ Dla dowolnej liczby zespolonej $\lambda$ jest

$0\leqslant \|x-\lambda y\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\overline {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .$

Wybierając

$\lambda =\langle x,y\rangle \langle y,y\rangle ^{-1},$

otrzymuje się nierówność

$0\leqslant \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\langle y,y\rangle ^{-1},$

która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leqslant \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle ,$

co z uwagi na równość

$\langle x,x\rangle =\|x\|^{2},$

jest tożsame

$|\langle x,y\rangle |\leqslant \|x\|\|y\|.$

Zobacz też

• nierówność Höldera
• nierówność trójkąta
• przestrzeń Hilberta

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Schwarz’s Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cauchy’s Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].