Otwórz menu główne

Nierówność Höldera

Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).

Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni i jeśli oraz

Nierówność HölderaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią z miarą oraz niech   będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.

 

Jeżeli   oraz   to   oraz

 

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje   i  liniowo zależne.

Najważniejsze przypadki szczególneEdytuj

  • Gdy   to nierówność Höldera znana jest pod nazwą nierówności Schwarza.
  • W przestrzeni euklidesowej   (lub  ) nierówność Höldera przyjmuje postać:
 
  • Dla elementów    
 
  • Niech   będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność
 
W szczególności, gdy   jest miarą probabilistyczną (tj.   jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci
 
gdzie symbol   oznacza wartość oczekiwaną.

UogólnienieEdytuj

Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:

Niech   będą takie, że:

 

Załóżmy, że   Wtedy   oraz

 

Zobacz teżEdytuj

LiteraturaEdytuj