Nierówność Markowa

Nierówność Markowa – nierówność używana w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej $X$ o wartości oczekiwanej $E(X)$ i dla każdego $\varepsilon >0$ oraz $p>0{:}$

$P(|X|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {E(|X|^{p})}{\varepsilon ^{p}}}.$

Dowód

Nierówność Markowa wynika bezpośrednio z podstawienia w nierówności Czebyszewa $|X|^{p}$ zamiast $X$ oraz $\varepsilon ^{p}$ zamiast $\varepsilon ,$ której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej artykule.

Jest tak, ponieważ dla $p>0$ zachodzi $|X|^{p}\geqslant \varepsilon ^{p}\iff X\geqslant \varepsilon$ (w założeniach nierówności Czebyszewa było $X\geqslant 0$).

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa
• nierówność Czebyszewa-Bienayme
• wykładnicza nierówność Czebyszewa