Nierówność izoperymetryczna

Nierówność izoperymetryczna – nierówność zachodząca dla dowolnej figury płaskiej:

$Q={\frac {4\pi A}{p^{2}}}\leqslant 1,$

gdzie:

$A$ – pole powierzchni figury,

$p$ – obwód figury,

$Q$ – tzw. iloraz izoperymetryczny.

Zdefiniowany w nierówności iloraz perymetryczny jest równy jedności $Q=1$ jedynie w przypadku koła, dla wszystkich innych figur jest mniejszy od jedności $Q<1.$ Własność tę inaczej wyrażają dwa równoważne stwierdzenia:

• spośród wszystkich figur płaskich o zadanym obwodzie koło ma największe pole,
• spośród wszystkich figur płaskich o zadanym polu koło ma najmniejszy obwód.

Nierówność izoperymetryczna jest rozwiązaniem szczególnego (dwuwymiarowego) przypadku problemu izoperymetrycznego, jednego z zadań rachunku wariacyjnego.

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Isoperimetric Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).