Nierozwiązane problemy w matematyce

lista w projekcie Wikimedia

Nierozwiązane problemy w matematyce często mają charakter hipotez, które są najprawdopodobniej prawdziwe, ale wymagają dowodów.

Trzy największe matematyczne problemy starożytności zostały rozstrzygnięte przez dziewiętnastowiecznych matematyków, którzy udowodnili, że linijka i cyrkiel nie są wystarczające do przeprowadzenia dokładnego:

W świecie naukowym popularne są listy otwartych kwestii organizowane przez znanych naukowców i organizacje. W szczególności istnieją listy otwartych problemów matematycznych:

Z biegiem czasu wiele problemów umieszczonych na tych listach udaje się rozwiązać i przestają one być problemami otwartymi – z hipotez zmieniają się w twierdzenia. W szczególności większość (z 23) problemów postawionych przez Hilberta w roku 1900 została już rozwiązana.

Bardziej szczegółowe są zestawienia otwartych problemów tworzone przez matematyków w określonych specjalnościach. Do najbardziej znanych należą:

  • zeszyt Kourowski (Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп) – zawiera kilkaset nierozwiązanych problemów z teorii grup[1]
  • zeszyt Dniestrowski (Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей) – zawiera kilkaset nierozwiązanych problemów z teorii pierścieni i modułów[2],
  • Księga Szkocka – zbiór problemów postawionych przez matematyków lwowskich.

Aksjomatyczna teoria mnogości edytuj

  • Spójność teorii ZF. Obecnie powszechnie przyjmowany jest system aksjomatów ZF z aksjomatem wyboru. Pytanie ze spójności tej teorii (a jeszcze bardziej o istnieniu modelu dla niej) pozostaje nierozwiązane[3][4].

Algebra edytuj

  • Odwrotna hipoteza teorii Galois. „Dla dowolnej skończonej grupy   istnieją ciała   i   takie, że   zawiera   i   jest izomorficzne z  ”.

Analiza matematyczna edytuj

 
Wartość stałej wynosi około 0,57721 56649. Występuje we wielu wzorach (na przykład: w transformacjach Laplace’a logarytmu naturalnego). Jeśli jest liczbą wymierną to jej mianownik musi mieć ponad 10242080 cyfr.

Analiza numeryczna edytuj

  • Określenie granicznego poziomu błędu aproksymacji rzędu   algorytmem Rungego-Kutty Rząd 1: Metoda Eulera =   rząd 2: modyfikowana metoda Eulera (zwana metodą Heuna) =   rząd 4: klasyczna metoda Rungego-Kutty =   rząd 5: algorytm Rungego-Kutty-Felberga = także  [6].

Geometria edytuj

  • (rozwinięcie zadanie Erdősa) Czy można umieścić 8 punktów na płaszczyźnie, tak aby żadne 3 z nich nie leżały na jednej linii, żadne 4 nie leżały na jednym okręgu, a odległość między dwoma dowolnymi punktami była liczbą całkowitą? Paul Erdős postawił problem dla 5 punktów i został on błyskawicznie rozwiązany. Szybko znaleziono też rozwiązanie dla 6 punktów. Rozwiązanie dla 7 punktów zostało znalezione w 2007 roku[7][8].
  • (problem przesunięcia sofy) Problem dotyczy znalezienia kształtu sofy o jak największym polu A, tak aby można było ją przesunąć w korytarzu o kształcie litery L szerokości 1[9]. Otrzymane pole „A” jest określane jako „stała sofy”. Dokładna wartość stałej A nie jest znana. Matematyk Joseph L. Gerver znalazł sofę dającą obecnie najwyższą znaną wartość: 2,219531669...[10] John Hammersley dowiódł, że stała sofy może wynieść najwyżej  [11][12].

Kombinatoryka edytuj

  • Istnienie macierzy Hadamarda rzędu   Macierz Hadamarda jest macierzą kwadratową zawierającą tylko +1 i −1. Sylvester[13] podał sposób budowy macierzy Hadamarda rzędu   Najmniejszą nieznaną macierzą Hadamarda rzędu   jest rząd 668[14].

Równania różniczkowe edytuj

 

Teoria dowodu edytuj

  • Jakie jest najkrótsze niedowodliwe zdanie w arytmetyce Peana? Niedowodliwe zdanie to takie, którego nie da się udowodnić lub obalić w ramach teorii. Dowody twierdzeń Gödla pokazują, jak budować takie zdania, ale wyniki mają bardzo znaczne rozmiary, ponieważ są napisane w języku formalnym arytmetyki[16].

Teoria grafów edytuj

Teoria liczb edytuj

Analityczna teoria liczb edytuj

  • Problem dzielników Dirichleta: Wiadomo, że liczba punktów posiadających całkowite dodatnie współrzędne w obszarze ograniczonym przez hiperbolę   i dodatnimi półosiami może być przedstawiona asymptotycznym wzorem:
    •  
gdzie   – ilość dzielników liczby    stała Eulera.
Nie wiadomo jednakże przy jakiej najmniejszej wartości   wzór ten pozostanie prawidłowym[18].
Dolną granicą   jest   (G.H. Hardy, 1916[19]). Górną granicą jest   (M.N. Huxley, 2003[20]).

Hipotezy dotyczące liczb doskonałych edytuj

  • Nie istnieje nieparzysta liczba doskonała[21]. Liczby naturalne, w których suma wszystkich swych dzielników właściwych jest równa samej liczbie. Parzyste to na przykład: 6 = 3 + 2 + 1 i (3, 2, 1) są dzielnikami właściwymi 6 oraz 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 i (14, 7 4 2 1) są dzielnikami właściwymi 28.

Hipotezy dotyczące liczb pierwszych edytuj

  • Hipoteza Artina: Dla każdej liczby całkowitej   (różnej od   oraz niebędącej kwadratem innej liczby), istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które mają   jako pierwiastek pierwotny[23].
  • Hipoteza Brocarda: Dla każdej liczby całkowitej dodatniej   pomiędzy   i   (gdzie   -ta liczba pierwsza) istnieją co najmniej cztery liczby pierwsze[24].
  • Hipoteza Gilbreatha: Dla każdej dodatniej liczby całkowitej   ciąg bezwzględnych różnic między liczbami pierwszymi rzędu   zaczyna się od 1. Hipoteza jest sprawdzona (2011) dla wszystkich  [25][26].
  • Silna hipoteza Goldbacha: Każda liczba parzysta większa niż 2 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych[27].
  • Hipoteza Legendre: Dla dowolnego   pomiędzy liczbami   i   istnieje liczba pierwsza[28][29].
  • Hipoteza Polignac'a: Dla każdej parzystej liczby   istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, różnica między którymi wynosi  [30].
  • Otwarte są pytania o nieskończone ilości liczb pierwszych w każdej z następujących sekwencji[31][32]:
Sekwencja Nazwa Uwagi
  liczby Mersenne’a Największa (51) znana (od 2018 roku) to 282589933 – 1. Posiada 24 862 048 cyfr. Jest to największa aktualnie znana liczba pierwsza[32].
  czwarty problem Landau
  liczby Cullena W kwietniu 2005 Mark Rodenkirch odkrył największą znaną liczbę pierwszą Cullena dla n = 1 354 828[33].
  liczby Fermata Największa obecnie znana liczba pierwsza Fermata to F4 = 216 + 1 = 65 537.
  liczby pierwsze ciągu Fibonacciego David Broadhurst i Bouk de Water w 2001 roku udowodnili, że największą obecnie znaną liczbą pierwszą ciągu Fibonacciego jest liczba F(81 839). Zawiera ona 17 103 cyfr. Aktualnie (od listopada 2011), przypuszcza się (Henri Lifchitz), że największą liczbą pierwszą ciągu Fibonacciego może być F(1 968 721)[34].
pary   liczby pierwsze bliźniacze Największa znana (od 2009 roku) pierwsza z pary liczb bliźniaczych to 65 516 468 355 × 2 333 333 + 1. Liczba ta zawiera 100 355 cyfr[32].
pary   liczby pierwsze Sophie Germain Aktualnie (od marca 2010) największą znaną liczbą pierwszą Sophie Germain jest 183 027 × 2265 440 - 1. Liczba ta zawiera 79 911 cyfr[35].

Hipotezy dotyczące liczb zaprzyjaźnionych edytuj

  • Nie istnieją dwie liczby zaprzyjaźnione względnie proste[36]. Liczby zaprzyjaźnione to takie pary liczb naturalnych, w których suma wszystkich dzielników właściwych każdej z liczb pary jest równa drugiej liczbie pary. Przykładem liczb zaprzyjaźnionych posiadających wspólne podzielniki jest para (220, 284): 220 =142 + 71 + 4 + 2 + 1 (dzielniki właściwe 284) i 284 = 110 + 55 + 44 + 22 + 20 + 11 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 (dzielniki właściwe 220).
  • Dowolna para liczb zaprzyjaźnionych ma tę samą parzystość[36]. Przykładem pary nieparzystych liczb zaprzyjaźnionych jest (12285, 14595).

Równanie diofantyczne edytuj

  • Hipoteza Erdősa-Strausa. Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej   istnieją liczby całkowite dodatnie   oraz   takie, że[37]:
     
    Przykładowo dla   rozwiązaniem jest (ułamki egipskie) (4, 6, 36):
     

Inne problemy edytuj

  • Rozstrzygnięcie problemu Collatza (problem 3x+1, problem Ulama). Problem o wyjątkowo prostym sformułowaniu:
 
Hipoteza Collatza stwierdza, że „niezależnie od jakiej liczby   wystartujemy, w końcu dojdziemy do liczby 1”. (Przykład:   I dalej 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.) Wykazano prawdziwość hipotezy Collatza dla liczb   aż do  [38].
  • Istnienie doskonałej cegiełki Eulera: Prostopadłościan, w którym wszystkie boki, przekątne ścian oraz przekątna prostopadłościanu są wyrażone liczbami całkowitymi[39].
  • Wartości liczb Ramseya:   jest to najmniejsza liczba   taka że dla dowolnego 2-pokolorowania krawędziowego  -wierzchołkowego grafu pełnego istnieje co najmniej jedna klika rozmiaru   w której wszystkie krawędzie mają pierwszy kolor lub co najmniej jedna klika rozmiaru   drugiego koloru. Obecnie (2009-08-04) znane są wartości liczb Ramseya tylko dla   oraz  [40][41].

Problemy rozwiązane niedawno edytuj

  • Twierdzenie o czterech barwach:
    • „Dla każdego skończonego grafu planarnego   istnieje funkcja   taka że   czyli możliwe jest przypisanie każdemu z jego wierzchołków jednej z czterech liczb 1, 2, 3 i 4 w taki sposób, aby żadne sąsiednie wierzchołki nie miały przyporządkowanej tej samej liczby”.
      W praktyce twierdzenie to określa, że każdą mapę „polityczną” można pokolorować, wykorzystując 4 kolory.
    • (Appel i Haken, 1977);
  • Liczba niezamkniętych tras skoczka szachowego[42].
    • Problem został rozwiązany 10 maja 2014 przez Alexa Chernova. Liczba otwartych tras dla szachownicy 8x8: 19 591 828 170 979 904[43].

Przypisy edytuj

  1. В.Д. Мазуров, Е.И. Хухро: Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Wyd. Издание 16-е, дополненное, включающее Архив решенных задач. Новосибирск: Российская академия наук. Сибирское отделение. Институт математики, 2006. [dostęp 2015-02-23]. (ros.).
  2. Филиппов В.Т., Харченко В.К., Шестаков И.П.: Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. Wyd. четвертое издание. 1993. [dostęp 2011-04-18]. (ros.).
  3. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
  4. Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.
  5. G.H. Hardy, J.E. Littlewood. The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line. „Math. Zeits.”, s. 283–317, 1921. 
  6. Metody Rungego-Kutty. [dostęp 2012-09-06].
  7. Erich Friedman: Two Dozen Unsolved Problems in Plane Geometry. 2004-03-27. [dostęp 2011-04-20]. [zarchiwizowane z tego adresu (2010-06-13)]. (ang.).
  8. Tobias Kreisel, Sascha Kurz: There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle. [w:] Department of Mathematics, University of Bayreuth, D-95440 Bayreuth, Germany [on-line]. 7th November 2006. [dostęp 2011-04-20]. (ang.).
  9. Leo Moser. Moving furniture through a hallway. „SIAM”. 8, s. 381, 1966. (ang.). 
  10. Moving Sofa Constant. mathcad.com. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-01-07)]. by Steven Finch at MathSoft, zawiera diagramy sofy Gervera.
  11. Neal R. Wagner. The Sofa Problem. „The American Mathematical Monthly”. 83 (3), s. 188–189, 1976. DOI: 10.2307/2977022. (ang.). 
  12. Ian Stewart: Another Fine Math You’ve Got Me Into.... Mineola, N.Y.: Dover Publications, January 2004. ISBN 0-486-43181-9. (ang.).
  13. J.J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tesselated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton’s Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers, London Edinburgh and Dublin, Philos. Mag. and J. Sci. 34, 461-475, (1867).
  14. Dragomir Ž Đoković. Hadamard matrices of order 764 exist. „Combinatorica”. 28 (4), s. 487–489, 2008. DOI: 10.1007/s00493-008-2384-z. (ang.). 
  15. Takashi Kanamaru: Van der Pol oscillator. Scholarpedia, 2007. [dostęp 2011-04-19]. (ang.).
  16. Richard Kaye: Models of Peano arithmetic. Oxford University Press, 1991. ISBN 0-19-853213-X.
  17. B. Bollobás, P.A. Catlin, Paul Erdős. Hadwiger’s conjecture is true for almost every graph. „European Journal on Combinatorics”. 1, s. 195–199, 1980. [dostęp 2011-04-25]. (ang.). 
  18. Eric W. Weisstein, Dirichlet Divisor Problem., [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-23] (ang.).
  19. I: Classical Theory.. W: Montgomery, Hugh: Multiplicative Number Theory. Cambridge: C. Vaughan, 2007, seria: Cambridge University Press.. ISBN 978-0-521-84903-6. (ang.).
  20. Huxley, M. N. Exponential Sums and Lattice Points III. „Proc. London Math. Soc.”, 2003. 5910-609. (ang.). 
  21. Charles Greathouse, Eric W. Weisstein, Odd Perfect Number., [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-15] (ang.).
  22. Eric W. Weisstein, Perfect Number., [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-15] (ang.).
  23. Artin’s conjecture on primitive roots. [dostęp 2011-04-12]. (ang.).
  24. Eric W. Weisstein, Brocard’s Conjecture., [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-25] (ang.).
  25. Eric W. Weisstein, Gilbreath’s Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-15] (ang.).
  26. Chris K. Caldwell: Gilbreath’s conjecture. 1992. [dostęp 2011-04-14]. (ang.).
  27. Christian Goldbach: Lettre XLIII. 1742-06-07. [dostęp 2011-04-12]. Cytat: Przedruk listu Goldbacha do Eulera z dnia 7 czerwca 1742, w którym po raz pierwszy formułuje on hipotezę. (niem.).
  28. Eric W. Weisstein, Legendre’s Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-14] (ang.).
  29. P. Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Wyd. 3. New York: Springer-Verlag, 1996, s. 132-134 oraz 206-208. (ang.).
  30. Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences (1849).
  31. Eric W. Weisstein, Integer Sequence Primes, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-15] (ang.).
  32. a b c The Largest Known Primes. [dostęp 2021-06-20]. (ang.).
  33. Eric W. Weisstein, Cullen Number., [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-16] (ang.).
  34. PRP Top Records. [dostęp 2011-04-16]. (ang.).
  35. Sophie Germain. [dostęp 2011-04-16]. (ang.).
  36. a b Mariano García, Jan Munch Pedersen, Herman Riele, Amicable Pairs, a Survey, P.O. Box 94079, 1090 GB Amsterdam (NL): Copyright © 2003, Stichting Centrum voor Wiskunde en Informatica, maj 2003, ISSN 1386-3711 [dostęp 2011-04-15] (ang.).
  37. Eric W. Weisstein, Erdős-Straus Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-23] (ang.).
  38. Eric W. Weisstein, Collatz Problem., [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-24] (ang.).
  39. Eric W. Weisstein, Euler Brick, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2011-04-15] (ang.).
  40. pod redakcją Marka Kubale: Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów. WNT, 2002.
  41. Stanisław P. Radziszowski: Small Ramsey Numbers. Department of Computer Science Rochester Institute of Technology, 1994-06-11, NY 14623 [dostęp 2011-04-12]. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-01-18)]. (ang.).
  42. 2. Конь-хамелеон. W: Е. Гик: Шахматы и математика. Москва: 1983, s. 176. [dostęp 2011-04-23]. (ros.).
  43. A165134 – OEIS. oeis.org. [dostęp 2015-11-09].

Bibliografia edytuj

Linki zewnętrzne edytuj