Nieskończenie duże

Nieskończenie duże – podzbiór ciała uporządkowanego ${\mathfrak {F}}:=(\mathbb {F} ,+,\cdot ,0,1,<)$ zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są większe od dowolnej liczby „naturalnej” tego ciała (czyli liczby powstałej z sumowania elementu neutralnego działania multyplikatywnego ciała ${\mathfrak {F}}$), czyli zbiór:

$\Psi :=\{x\in \mathbb {F} :\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|>n\}.$

Ponieważ w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy oraz istnieją liczby „naturalne” (w sensie opisanym powyżej), to da się również zdefiniować zbiór liczb nieskończenie dużych $\Psi .$

Ciało liczb rzeczywistych

W ciele liczb rzeczywistych ${\mathfrak {R}}:=(\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<),$ jak i w każdym ciele archimedesowym, nie istnieją liczby nieskończenie duże, tzn. $\Psi =\emptyset$.

Ciało liczb hiperrzeczywistych

W ciele liczb hiperrzeczywistych ${\mathfrak {R}}^{*}:=(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )$ zbiór liczb nieskończenie dużych to

$\Psi :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\succ n^{*}\}$.

Hiperrzeczywistych liczb nieskończenie dużych jest nieskończenie wiele, do zbioru $\Psi$ należy np. liczba $[(n)_{n=1}^{\infty }]$, a liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała.