Otwórz menu główne

Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – sposób zapisu wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca[1] do mechaniki kwantowej, służący do zapisywania stanów kwantowych. Stan układu, będący wektorem z przestrzeni Hilberta, zapisuje się za pomocą znaku pionowej kreski „” i nawiasu trójkątnego „”, na przykład Oznaczenie to nazywa się ket. Natomiast stan sprzężony hermitowsko do niego oznacza się przez czyli bra.

Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym prawie 100 lat wcześniej.

Spis treści

Przestrzeń wektorowaEdytuj

WstępEdytuj

Osobny artykuł: Przestrzeń wektorowa.

Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor   w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy:  

Wektor   może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

 

gdzie wektory  liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby   to odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor   znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem   (gdzie   to np.   lub  ), wektor   jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:

 

Jednak   może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń  .

Notacja ketEdytuj

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów:   Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

 

co można zapisać w skrócie

 

gdzie   oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe  

Iloczyn skalarny i notacja ketEdytuj

Osobny artykuł: iloczyn skalarny.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

 

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń  )

 

gdzie   oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy   iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

 

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”

 

gdzie   nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a   to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Bra i kety jako macierzeEdytuj

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

 

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

 

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:

 

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

 

otrzyma się:

 

Bra jako operator liniowy na ketEdytuj

Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.

Zastosowanie w mechanice kwantowejEdytuj

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:

  • Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie  ”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c   odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c).
  • Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu   jest superpozycją stanów   i  
  • Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych.
  • Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.

Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:

Oznaczenia w notacji DiracaEdytuj

  • wektory bazowe oznacza się:   gdzie  
  • wektory bazowe sprzężone hermitowsko:   oraz  
  • iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej   i wektorów z bazy  
 
 
  • iloczyn tensorowy wektorów bazowych:
 
 
 
 
  • sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:
 
 
  • wektor o współrzędnych   zapisany w bazie  
 
  • Inne wektory bazowe można oznaczyć   na przykład:
 
 
 
 
  • Operatory (macierze) oznacza się   na przykład operator jednostkowy:
 
 

PrzypisyEdytuj

  1. PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics. „Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. 35 (3), s. 416–418, 1939. DOI: 10.1017/S0305004100021162. 

Linki zewnętrzneEdytuj