Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy objętości w geometrii trójwymiarowej. Zobacz też: inne znaczenia.

Objętośćmiara 3-wymiarowej przestrzeni.

Spis treści

Konstrukcja pojęciaEdytuj

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

  • Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach  
  • Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez  

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach     itd. uzyskamy ciąg liczb   Objętością nazywamy granicę:

 

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

 

oraz

 

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Osobny artykuł: Miara Lebesgue’a.

Objętość pod powierzchniąEdytuj

Objętość między powierzchnią daną równaniem   a płaszczyzną   w obszarze   jest równe całce podwójnej

 

Jednostki objętościEdytuj

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

Zobacz teżEdytuj