Obraz (matematyka)

zbiór wszystkich wartości funkcji
(Przekierowano z Obraz i przeciwobraz)

Obrazzbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny[1].

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.

Obraz funkcji to obraz jej całej dziedziny; dla funkcji oznacza się go (ang. image – obraz)[potrzebny przypis] lub [2]:

Zbiór ten jest też znany jako zbiór wartości[2][3][4] lub przeciwdziedzina, przy czym dwie dalsze nazwy bywają stosowane wymiennie[5][6]. Inne źródła definiują te dwa terminy inaczej niż obraz funkcji[potrzebny przypis][a].

Obraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja edytuj

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej   oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru   w zbiór  

Obraz elementu edytuj

Jeżeli   jest elementem   to   czyli wartość funkcji   na elemencie   nazywa się obrazem   poprzez  

Obraz zbioru edytuj

Obrazem zbioru   w funkcji   nazywa się podzbiór   wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
 
Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast   pisze się   Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez   jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru   a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru  

Notacja edytuj

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą[7] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa
  gdzie  
Notacja gwiazdkowa
  zamiast  
Inne
Alternatywną notacją   wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest  [potrzebny przypis].

Przykłady edytuj

 
Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania  
 
Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego.
 
Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.
  •   określona wzorem  
    Obrazem zbioru   poprzez   jest   Obrazem funkcji jest  
  •   dana wzorem  
    Obrazem   w   jest   a obrazem   jest  
  • Jeżeli   jest rozmaitością, a   jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej   na   to przestrzenie styczne   dla   Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności edytuj

Niech dana będzie funkcja   Dla wszystkich podzbiorów   oraz   zachodzą następujące własności:

  • obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny:
     
  • operacja obrazu jest monotoniczna, tzn.
      oraz
  • prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
     
      (jeśli funkcja jest różnowartościowa, to jest równość),
  • z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
     

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech   będzie rodziną indeksowaną podzbiorów   a   będzie rodziną indeksowaną podzbiorów   Wówczas

  •  
  •  

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania obrazu jest homomorfizmem półkrat, lecz nie krat, ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje.

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów.   a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych)[potrzebny przypis].

Związki z przeciwobrazem edytuj

Działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:

  •   (równość dla funkcji „na”),
  •   (równość dla funkcji różnowartościowej),
  •  

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

  1. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji   postaci   bądź   (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres)[potrzebny przypis].

Przypisy edytuj

  1. obraz zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-10-14].
  2. a b   Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości funkcji, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2023-12-22].
  3.   Anna Jeżewska, Zbiór wartości funkcji. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-21].
  4.   Piotr Stachura, Odczytywanie dziedziny i zbioru wartości funkcji z wykresu, kanał Khan Academy na YouTube, 8 października 2014 [dostęp 2023-12-21].
  5. przeciwdziedzina, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-21].
  6.   Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 19 października 2015 [dostęp 2023-12-22].
  7. Blyth 2005 ↓, s. 5.

Bibliografia edytuj

Literatura dodatkowa edytuj

Linki zewnętrzne edytuj

  • Eric W. Weisstein, Image, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
  • Eric W. Weisstein, Range, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
  •   Range of values (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-21].