Otwórz menu główne

Obrazzbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

DefinicjaEdytuj

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej   oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru   w zbiór  

Obraz elementuEdytuj

Jeżeli   jest elementem   to   czyli wartość funkcji   na elemencie   nazywa się obrazem   poprzez  

Obraz zbioruEdytuj

Obrazem zbioru   w funkcji   nazywa się podzbiór   wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
 
Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast   pisze się   Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez   jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru   a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru  

Obraz funkcjiEdytuj

 
f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.
Obraz   całej dziedziny   nazywa się zwykle obrazem funkcji   Do innych oznaczeń należą również   (j.w.),   (ang. image – obraz).

PrzeciwobrazEdytuj

Przeciwobrazem zbioru   względem   nazywa się podzbiór zbioru   określony wzorem
 
Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem   lub   nazywa się włóknem nad   lub poziomicą lub warstwicą  
Zbiór wszystkich włókien nad elementami   tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez   Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.
Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to   można oznaczać symbolem   i myśleć o   jako o funkcji ze zbioru potęgowego   w zbiór potęgowy   Oznaczenie   może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy   jest bijekcją.

NotacjaEdytuj

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą[1] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa
  gdzie  
  gdzie  
Notacja gwiazdkowa
  zamiast  
  zamiast  
Inne
Alternatywną notacją   wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest  
W niektórych pracach obraz   nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji   postaci   bądź   (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

PrzykładyEdytuj

 
Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.
  •   określona wzorem  
    Obrazem zbioru   poprzez   jest   Obrazem funkcji jest   Przeciwobrazem   jest   Przeciwobrazem   również jest   Przeciwobrazem   jest zbiór pusty  
  •   dana wzorem  
    Obrazem   w   jest   a obrazem   jest   Przeciwobraz   w   to   Przeciwobrazem zbioru   w   jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
  •   dana wzorem  
    Włóknami (poziomicami)  okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru   odpowiednio:     oraz  
  • Jeżeli   jest rozmaitością, a   jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej   na   to przestrzenie styczne   dla   Jest to przykład wiązki włóknistej.

WłaściwościEdytuj

Niech dana będzie funkcja   Dla wszystkich podzbiorów   oraz   zachodzą następujące właściwości:

  • obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny,
      oraz  
  • działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:
      (równość dla funkcji „na”),
      (równość dla funkcji różnowartościowej),
     
  • operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn.
      oraz
     
  • prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
     
      (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa),
     
     
  • zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:
     
  • z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
     
     
  • istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:
     

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech   będzie rodziną indeksowaną podzbiorów   a   będzie rodziną indeksowaną podzbiorów   Wówczas

  •  
  •  

oraz

  •  
  •  

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru   względem złożenia   dwóch funkcji   oraz   dany jest wzorem:

  •  

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów.   a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych). Analogicznie jest z przeciwobrazem:   i równość zachodzi pod tym samym warunkiem[potrzebny przypis].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Blyth 2005, s. 5.

BibliografiaEdytuj