Otwórz menu główne

Obszar

pojęcie z dziedziny analizy matematycznej
Zobacz też: Obszar w innych znaczeniach tej nazwy.

Obszarzbiór otwarty i spójny[1].

Domknięcie obszaru nazywane jest obszarem domkniętym. Zbiór domknięty nazywa się brzegiem obszaru Punkty nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru a punkty nazywane są punktami brzegowymi obszaru [2].

Od lewej: obszar jednospójny, obszar trzyspójny, obszar czterospójny

Obszar nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w ściągalna do punktu)[3]. Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Brzeg obszaru może mieć składowych, gdzie Jeśli to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba jest nazywana rzędem spójności. Jeśli obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli obszarem trzyspójnym itd. Jeśli to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli obszarem nieskończeniespójnym[3].

Pojęcie to ma podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana.

PrzykładyEdytuj

 
Przykład obszaru, którego brzeg zawiera punkty niedostępne
  • Na prostej   obszarami są przedziały liczbowe. Brzeg takiego obszaru jest zawsze zbiorem co najwyżej dwupunktowym[3].
  • Obszar nieskończeniespójny można uzyskać, usuwając z koła otwartego o promieniu 2 rozłączne koła domknięte o promieniach   Brzeg tego obszaru jest sumą mnogościową okręgu koła o promieniu 2 i okręgów ograniczających usunięte koła.
  • Obszar jednospójny   może mieć dość skomplikowany brzeg, zawierający punkty niedostępne w następującym sensie: nie istnieje krzywa ciągła   gdzie   jest przedziałem domkniętym na osi rzeczywistej, taka że obrazy wszystkich punktów przedziału, poza punktem   (należącym do brzegu  ), należą do obszaru   Takimi punktami będą na przykład punkty prawego boku kwadratu na rysunku obok, z którego usunięto odcinki wychodzące prostopadle naprzemiennie z dolnego i górnego boku tego kwadratu, zbliżające się do prawego boku i o długościach dążących do długości boku kwadratu[4].
  • Każde dwa punkty obszaru położonego w płaszczyźnie zespolonej dają się połączyć łamaną.
Niech będzie obszarem. Dla każdego   niech   będzie zbiorem tych punktów obszaru   które dadzą się połączyć z   łamaną. Dla każdego   zbiór   jest zbiorem otwartym, bo jeśli   to z punktem   można połączyć łamaną każdy punkt kuli   Z drugiej strony zbiór:
 
jest również zbiorem otwartym, a zatem ze względu na spójność zbioru   zbiór   czyli  [5].
  • Własność ta jest spełniona dla obszarów w przestrzeni euklidesowej   oraz dla obszarów przestrzeni zespolonej   przy czym istnieje wtedy łamana łącząca dwa punkty obszaru składająca się ze skończonej liczby odcinków[3].
  • Powyższa własność jest również spełniona dla obszaru każdej topologicznej przestrzeni wektorowej.
  • Każdy zbiór otwarty   jest sumą obszarów, bo:
 

PrzypisyEdytuj

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, s. 257, seria: Biblioteka matematyczna (BM 9).
  2. Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). Wyd. 1. T. 3, Коо-Од. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 1098.
  3. a b c d Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098.
  4. А.И. Маркушевич: Теория аналитических функций. Wyd. 1. T. 1. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1950, s. 406.
  5. Kuratowski, op. cit., s. 257.