Otwórz menu główne

Operator Laplace’a

operator różniczkowy drugiego rzędu
(Przekierowano z Operator Laplace'a)

Operator Laplace’a (laplasjan)operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.


Spis treści

ZastosowaniaEdytuj

(1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.

(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.

Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskieEdytuj

Definicja operatora Laplace’a w  -wymiarowym układzie kartezjańskim

 

Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywolinioweEdytuj

(1) Operator Laplace’a w  -wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać

 

gdzie:

  •   – współrzędne krzywoliniowe,
  •  współczynniki Lamego, tj.
  •  

gdzie:

Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną   w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.

(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy

 

czyli

 

Współrzędne sferyczneEdytuj

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych  

 

lub

 

Współrzędne walcoweEdytuj

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych  

 

Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoruEdytuj

Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.

Współrzędne sferyczne   są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi   za pomocą zależności

 

Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)

 

zatem współczynniki Lamego są następujące

 

Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w  -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór

 

Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywolinioweEdytuj

Operator Laplace’a w  -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych   ma postać

(1) ogólny wzór

 

(2) z użyciem symboli  

 

gdzie:

  – odwrotny tensor metryczny,
 symbole Christoffela układu krzywoliniowego.

(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego  

 

gdzie:

  – wyznacznik tensora metrycznego.

(patrz równanie Voss-Weyla dotyczące dywergencji)

Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencjąEdytuj

Słuszne są następujące twierdzenia:

Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej   jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji

 

lub równoważnie

 

Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej   wyraża się przez operatory gradientu i rotacji

 

lub równoważnie

 

Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru

 

lub równoważnie

 

Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorowąEdytuj

Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci

 

tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości   obliczone z funkcji współrzędnych   tej funkcji wektorowej, tj.

 

lub równoważnie

 

W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.

Zobacz teżEdytuj

Operatory różniczkowe

(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

(3) Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej

BibliografiaEdytuj

  • F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, PWN, Warszawa 1975, Tom 1.