Operator pędu

Operator pędu – jeden z operatorów wprowadzanych przez mechanikę kwantową; wartości własne tego operatora określają możliwe wartości pędu cząstki czy układu cząstek. Matematycznie, operator pędu jest operatorem hermitowskim (samosprzężonym) zdefiniowanym na przestrzeni Hilberta.

Reprezentacja pędowa operatora pęduEdytuj

Operator pędu   definiuje się następująco: działając na stan własny   operator ten daje ten sam stan mnożony przez liczbę   zwaną wartością własną

 

Rozwiązanie powyższego równania w bazie wektorów własnych operatora położenia prowadzi do zależności

 

Funkcja ta nie jest jednak całkowalna w kwadracie, gdyż

 

Według ścisłych wymogów matematycznych operator pędu nie jest dobrze zdefiniowany. Jednak pomija się wymóg całkowalności w kwadracie i traktuje wielkości   jako wektory własne operatorów pędu. Przy tych założeniach zbiór wszystkich wektorów   może być traktowany jak baza ortonormalna, przy czym iloczyn skalarny dowolnych wektorów   spełnia zależność

 

gdzie  delta Diraca.

(Ściśle wektory   nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji   całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór   jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się   jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności).

Dowolny stan   przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco

 

Wielkość   jest funkcją falową stanu   w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu  

Korzystając z bazy   wektorów własnych działanie danego operatora   na stan   możemy obliczyć następująco:

 

Stan   pod wpływen działania operatora   przechodzi więc w inny stan   który jest sumą (całką) po stanach   z amplitudami   Oznacza to, że np. wykonując pomiar pędu cząstki znajdującej się w stanie   otrzyma się wartość pędu   z gęstością prawdopodobieństwa

 

Reprezentacja położeniowa operatora pęduEdytuj

1) Powyżej podany wzór   oznacza, że działanie składowej   operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez  

2) W reprezentacji położeniowej składowa   operatora pędu ma postać

 

3) Wektorowy operator pędu   definiuje się jako wektor utworzony z operatorów   tj.

 

Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:

 

gdzie:

 

jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pęduEdytuj

Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną

 

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów   musi być operatorem nieograniczonym.

Zobacz teżEdytuj