Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Ortogonalizacja Grama-Schmidta – przekształcenie układu liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w układ wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe rozpinane przez układy przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.

Opisana w tym artykule metoda nazwana została na cześć Jørgena Grama, matematyka duńskiego oraz Erharda Schmidta, matematyka niemieckiego.

Proces ortogonalizacjiEdytuj

 
Dwa pierwsze kroki procesu ortogonalizacji

Operator rzutowania ortogonalnego wektora   na wektor   definiujemy jako:

 

Wówczas dla układu k wektorów   proces przebiega następująco:

 
 
 
 
 

czyli wektor   to wektor   po odjęciu od niego rzutu wektora   na podprzestrzeń rozpiętą przez wektory   Otrzymany zbiór   jest zbiorem wektorów ortogonalnych.

Aby zbudować w ten sposób zbiór ortonormalny, każdy wektor należy podzielić przez jego normę:

 

Proces ortogonalizacji pozwala na wskazanie bazy ortogonalnej w dowolnej przestrzeni unitarnej (niekoniecznie skończenie wymiarowej).

Własności numeryczne tego algorytmu nie są zbyt dobre i uzyskane wektory nadal nie są ortogonalne (za sprawą błędów zaokrągleń), toteż w praktyce powtarza się proces dokonując reortogonalizacji.

Dowód ortogonalności otrzymanej bazyEdytuj

Dowód ortogonalności tak otrzymanego układu opiera się na indukcji.

Niech   jest układem wektorów uzyskanym w procesie ortogonalizacji Grama-Schmidta z bazy   Załóżmy, że wektory   są wzajemnie prostopadłe, czyli spełniają   dla wszystkich   oraz   dla  

Pokażemy, że wektor   otrzymany z algorytmu ortogonalizacji Grama-Schmidta jest prostopadły z dowolnym wektorem   gdzie  

 

Mnożąc skalarnie   i   i korzystając z własności iloczynu skalarnego (rozdzielności iloczynu względem sumy, przemienności i zgodności z mnożeniem przez skalar) otrzymujemy:

 

Na mocy założenia indukcyjnego w ostatniej sumie wszystkie składniki o indeksie   są zerowe, więc:

 

co oznacza, że wektor   jest prostopadły z każdym innym wektorem  

Wektor   jest kombinacją liniową wektorów   Z kolei   jest kombinacją liniową wektorów   Analogicznie dla wektora   i tak dalej. Ostatecznie wektor   jest kombinacją liniową wektorów   a dokładniej

 

Gdyby   to układ   wbrew założeniom byłby liniowo zależny, bo nie wszystkie współczynniki liczbowe kombinacji są zerowe.

Ponieważ ortogonalny układ wektorów jest liniowo niezależny, a każdy z wektorów   jest kombinacją liniową elementów z bazy   więc tak wyznaczone wektory   istotnie są bazą.

PrzykładyEdytuj

Przestrzeń R²Edytuj

Rozważmy zbiór wektorów w   (ze standardowym iloczynem skalarnym):

 

Teraz przeprowadzamy ortogonalizację, aby otrzymać wektory parami prostopadłe:

 
 

Sprawdzamy, że wektory u1 i u2 rzeczywiście są prostopadłe:

 

ponieważ jeśli dwa wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi 0.

Następnie normalizujemy wektory, dzieląc każdy przez ich normy:

 
 

Przestrzeń wielomianówEdytuj

W przestrzeni wielomianów   wielomiany postaci   stanowią bazę. Iloczyn skalarny w tej przestrzeni można wprowadzić np. w ten sposób:

 

Przeprowadzając proces ortogonalizacji układu   dostaniemy układ ortogonalny  

Są to z dokładnością do czynnika wielomiany Legendre’a:

 

Po znormalizowaniu powstanie układ

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj