Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: ortogonalność grup ochronnych w chemii.

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)[1].

DefinicjaEdytuj

Elementy   i   przestrzeni unitarnej   z iloczynem skalarnym   nazywa się ortogonalnymi, gdy

 

Relację   zapisuje się symbolicznie   Podzbiór   przestrzeni unitarnej   nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowejEdytuj

Długość wektora   w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

 

Jeżeli   i   są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora   wynosi

 

Liczby   są długościami boków trójkąta   gdzie  

 
Trójkąt prostokątny o bokach  

Wektory   są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt   jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:

 

tzn.

 

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

 

która upraszcza się do wyrażenia

 

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów   i   w przestrzeni trójwymiarowej.

PrzykładyEdytuj

Przestrzenie euklidesowe

Wektory   i   na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

 

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń  , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale   o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów   i   tej przestrzeni definiuje się wzorem

 

W przypadku, gdy   to rodzina funkcji

 

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Roman Ger: Orthogonalities in linear spaces and difference operators, Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, DOI:10.1007/s000100050153.