Półprostafigura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie pewnego punktu tej prostej[1]. Punkt ten jest nazywany początkiem półprostej[a]. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej – mówimy wówczas o półprostej domkniętej (z początkiem)[2]. W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku).

Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Półprostą o początku w punkcie i przechodzącą przez punkt oznaczamy jako półprostą

Niekiedy półprostą nazywa się promieniem[3]. Często wygodnie jest oznaczać przez promień otwarty wychodzący z punktu i nieprzechodzący przez punkt [4]. Inaczej mówiąc, promień składa się z tych punktów prostej które leżą po przeciwnej stronie punktu niż punkt

Inne definicje półprostej

edytuj
  • Półprostą (domkniętą) o początku w punkcie   można też zdefiniować jako maksymalny podzbiór prostej przechodzącej przez punkt   taki że punkt   należy do tego podzbioru, ale nie leży on między żadnymi dwoma innymi punktami tego podzbioru.
  • Półprostą (domkniętą)   można również zdefiniować jako sumę mnogościową wszystkich odcinków o końcu w punkcie   zawierających punkt  [5].

Własności

edytuj
  • Zbiór rzędnych punktów danej półprostej jest albo zbiorem jednopunktowym (gdy półprosta jest zawarta w prostej prostopadłej do osi rzędnych), albo przedziałem nieskończonym. To samo można powiedzieć o zbiorze odciętych punktów półprostej[b].
  • Dla każdych dwóch różnych punktów   i   półproste   i   są rozłączne. Suma mnogościowa tych promieni i odcinka   jest równa prostej  
 
  • Na zbiorze półprostych (promieni) zawartych w danej prostej można określić relację równoważności   Promienie   i   są w niej równoważne, jeśli jeden z nich jest zawarty w drugim:
 
Relacja ta ma dwie klasy równoważności nazywane kierunkami promieni na tej prostej.

Zobacz też

edytuj
  1. Dwa punkty   i   prostej   leżą po jednej stronie punktu   leżącego na tej prostej, jeśli punkt   nie leży między tymi punktami, to znaczy nie zachodzi relacja   z geometrii uporządkowania.
  2. Własność nieprawdziwa w geometrii hiperbolicznej. W niej rzut półprostej może być odcinkiem.

Przypisy

edytuj
  1. półprosta, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-01].
  2. Borsuk Karol, Szmielew Wanda: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970, s. 39.
  3. H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 196.
  4. Coxeter, op. cit., s. 196.
  5. А.Д. Александров: Основания геометрии. Москва: Наука, 1987, s. 61.

Bibliografia

edytuj
  • Borsuk Karol, Szmielew Wanda: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970.
  • H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Ryszard Doman: Wykłady z geometrii elementarnej. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 1998.
  • А.Д. Александров: Основания геометрии. Москва: Наука, 1987.