Płaskie zginanie pręta

Zginanie – w wytrzymałości materiałów stan deformacji, przy którym pręt prosty w stanie niezdeformowanym, po deformacji jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę jego osi).

Zginanie pręta

Zginanie jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji, którymi są belki.

Ze względów technicznych, dla materiałów liniowo-sprężystych, rozróżnia się kilka przypadków szczególnych zginania:

  • czyste zginanie – naprężenia w przekroju redukują się jedynie do momentu zginającego, brak jest sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających),
  • proste zginanie – naprężenia redukują się do momentu i sił poprzecznych,
  • ściskanie/rozciąganie mimośrodowe – naprężenia redukują się do momentu i siły podłużnej, siły poprzeczne mogą, ale nie muszą wystąpić.

Zginanie jest pokrewne rozciąganiu i ściskaniu, gdyż powoduje pojawienie się naprężeń normalnych w przekrojach poprzecznych elementu. W przeciwieństwie jednak do rozciągana i ściskania, rozkład naprężeń normalnych w przekroju elementu jest nierównomierny.

Teoria Bernoulliego-Eulera zginania prętaEdytuj

Założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta przed deformacją pozostaje prosty i prostopadły po deformacji.

Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą:

 

gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia krzywizny.

Odkształcenia wywołują naprężenia normalne:

 

Obliczając siłę podłużną w przekroju

 

oraz moment zginający

 

gdzie   jest momentem bezwładności względem osi   pręta.

Jeśli wielkości przekrojowe są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to   oraz   (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie

 

Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju

 

Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia:

 

otrzymując równanie różniczkowe:

 

gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów.

Jeśli   to jest to przypadek czystego zginania. Równaniem linii ugięcia jest parabola i jest to rozwiązanie ścisłe, pozbawione sprzeczności.

Jeśli moment jest zmienny względem x to z tw. Schwedlera-Żurawskiego wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu:

 

Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki.

Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla   i wynosi:

 

gdzie:

  – maksymalne naprężenie normalne,
 moment gnący (zginający),
  – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, którego wartość wynosi   i zależy od rozmiaru i kształtu przekroju elementu.

Zgodnie z hipoteza wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek:

 

gdzie:

  – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

BibliografiaEdytuj

  • Stefan Piechnik: Wytrzymałość materiałów. Dla wydziałów budowlanych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980. ISBN 83-01-00873-3.

Linki zewnętrzneEdytuj