Płaszczyzna Z

Płaszczyzna Z, płaszczyzna z – płaszczyzna zmiennych zespolonych uzyskanych na drodze przekształcenia do dziedziny za pomocą transformaty Z – w teorii sterowania jedno z fundamentalnych narzędzi analizy i syntezy układów dyskretnych. Jej odpowiednikiem dla układów czasu ciągłego jest płaszczyzna S.

WłasnościEdytuj

Zmienna   jest zmienną zespoloną z częścią rzeczywistą i częścią urojoną. Innymi słowy   można zdefiniować w następujący sposób:

 

Jako że zmienna   może być rozbita na dwa niezależne komponenty, to często sensowne jest przedstawienie tej zmiennej na płaszczyźnie Z, gdzie oś pozioma reprezentuje rzeczywistą część   a pionowa oś – amplitudę urojonej części  

Warto przy tym zauważyć, że jeśli zdefiniujemy   korzystając z wyrażeń transformaty z gwiazdką:

 

to można dokonać rozdzielenia   na część rzeczywistą i urojoną:

 

Po włączeniu powyższego do równania na   uzyskuje się:

 

Korzystając z wzoru Eulera, można rozdzielić eksponentę zespoloną jako:

 

Jeśli ponadto zdefiniuje się nowe zmienne   i   takie że:

 
 

można zapisać   korzystając z wyrażeń   i   jako równanie Eulera:

 

Co stanowi reprezentację biegunową (polarną) zmiennej   z amplitudą funkcji biegunowej   opartą na części rzeczywistej zmiennej   a kąt funkcji biegunowej   oparty jest na urojonej części  

NotacjaEdytuj

Uwaga: Ściśle rzecz biorąc nazwy zmiennych zapisuje się małą literą (np. zmienna  ) a płaszczyzn i transformat dużą: płaszczyzna Z, transformata Z. W praktyce jednak nie zawsze jest to przestrzegane i spotyka się zapisy w każdym przypadku, także z małą literą np. płaszczyzna z.

Zobacz teżEdytuj