Płaszczyzna styczna

Płaszczyzna styczna – pojęcie matematyczne mające sens w przestrzeni trójwymiarowej. Gdy dana jest funkcja trzech zmiennych, np.:

$f(x,y,z),$

to zbiór takich punktów, w których funkcja ta przyjmuje stałą wartość (którą można oznaczyć na przykład jako c), tworzy powierzchnię opisaną równaniem:

$f(x,y,z)=c.$

Płaszczyzna styczna do podanej wyżej powierzchni charakteryzuje się tym, że wektor leżący na takiej płaszczyźnie jest w punkcie styczności prostopadły do gradientu funkcji $f(x,y,z)$ i fakt ten wykorzystuje się dla wyznaczenia wzoru opisującego taką płaszczyznę w dowolnym punkcie, w którym funkcja $f(x,y,z)$ jest ciągła. Załóżmy, że chcemy wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej w punkcie

$P_{0}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right).$

Pomocne będzie tu wprowadzenie pojęcia tak zwanego wektora pozycji, łączącego początek układu wspórzędnych z danym punktem w przestrzeni. Taki wektor charakteryzuje się tym, że jego współrzędne są takie same jak współrzędne punktu, na który wskazuje. Wektory pozycji można oznaczyć jako $WP,$ czyli punkt, dla którego chcemy wyznaczyć płaszczyznę styczną można opisać następującym wektorem:

${\vec {WP}}_{0}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right),$

a dowolny punkt w przestrzeni za pomocą ogólnego wektora pozycji:

${\vec {WP}}\left(x,y,z\right).$

Ponieważ gradient funkcji f w danym punkcie jest prostopadły do płaszczyzny stycznej w tym samym punkcie, to iloczyn skalarny dowolnego wektora leżącego na płaszczyźnie stycznej oraz gradientu funkcji f jest równy zeru, co można zapisać następująco:

$\left({\vec {WP}}-{\vec {WP}}_{0}\right)\circ \nabla f\left(P_{0}\right)=0,$

gdyż różnica wektorów pozycji wskazujących na dowolne punkty leżące na płaszczyźnie tworzy wektor leżący na tej płaszczyźnie.

Zatem w układzie kartezjańskim równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni opisanej rówaniem:

$f(x,y,z)=c$

w punkcie leżącym na tej powierzchni oznaczonym jako

$P_{0}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$

może być opisane następująco:

${\frac {\partial f}{\partial x}}\left(P_{0}\right)\circ \left(x-x_{0}\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(P_{0}\right)\circ \left(y-y_{0}\right)+{\frac {\partial f}{\partial z}}\left(P_{0}\right)\circ \left(z-z_{0}\right)=0.$

Bibliografia

• Eutiquio C. Young Vector and Tensor Analysis, ISBN 0-8247-8789-7, s. 174–175.