Otwórz menu główne

Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.

Prostokątne płaty powierzchni BézieraEdytuj

Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych   odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):

 

Płat jest stopnia   względem parametru   i stopnia   względem parametru  

Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia   potrzebne jest   punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej –   to punkt w  -tym wierszu i  -tej kolumnie tej tablicy.

Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli    albo   ).

Łamana, której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie   nazywana jest wierszem, o stałym indeksie  kolumną.

 
Płat Beziera

Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:

  dla  

gdzie:

   wielomiany bazowe Bernsteina.

W praktyce obliczenie punktu   przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:

  •  
  •  

Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru     Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru     znajduje się szukany punkt.

Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.

Trójkątne płaty BézieraEdytuj

Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń   Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych  

Zmienne   przy założeniu, że    współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie – te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty  

Punkt płata trójkątnego stopnia   dany jest wzorem:

 

gdzie:

 
 
 

Sumowanie przebiega po wszystkich   spełniających warunek  

Do określenia płata stopnia   potrzebne jest   punktów kontrolnych.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.

Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.

Zobacz teżEdytuj