Paradoks dwóch kopert

Paradoks dwóch kopert – paradoks związany z teorią prawdopodobieństwa i teorią decyzji. Treść paradoksu można sformułować w następujący sposób:

Dwie koperty.

Załóżmy, że mamy do wyboru jedną z dwóch identycznych kopert zawierających pieniądze i wiemy, że jedna z nich zawiera dwa razy wyższą kwotę niż druga. Załóżmy, że wybraliśmy jedną z nich i po otwarciu znaleźliśmy tam kwotę X zł. Następnie zostajemy zapytani, czy chcemy zamienić te pieniądze na zawartość drugiej koperty. Czy ta zamiana się opłaca?

Wiadomo, że w drugiej kopercie znajduje się kwota 1\2 X zł lub 2 X zł i prawdopodobieństwo obydwu tych przypadków jest takie samo. Z tego powodu wartość oczekiwana kwoty po wymianie jest równa

$\left({\frac {1}{2}}X+2X\right)/2$ zł = ${\frac {5}{4}}X$ zł,

z czego pozornie wynika, że wymiana się opłaca. Paradoks bierze się stąd, że wynik tego rozumowania możemy przewidzieć jeszcze przed ostatecznym wyborem i otwarciem koperty, ponieważ przewaga wartości oczekiwanej po zamianie nie zależy od kwoty w kopercie otwartej. Jednak sytuacja przed wyborem jest symetryczna, więc powyższe rozumowanie nie powinno dawać informacji, czy wymiana się opłaca.

Zobacz też

• paradoks petersburski

Bibliografia

• Stanley J. Farlow: Paradoxes in Mathematics. Dover Publications, 2014. ISBN 978-0-486-79173-9.