Pełna grupa liniowa

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa), GL(n, R)grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia nad danym pierścieniem z mnożeniem macierzy jako działaniem określonym w grupie.

Definicja formalnaEdytuj

Pełną grupą liniową   nazywamy uporządkowaną czwórkę   gdzie:

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator   jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

Przestrzenie linioweEdytuj

Jeżeli   jest przestrzenią liniową nad ciałem   wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez   lub   nazywamy grupę wszystkich automorfizmów   tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych   ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń   ma skończony wymiar   to   oraz  izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w   Jeżeli   jest bazą uporządkowaną   zaś   automorfizmem   to mamy

 

dla pewnych stałych   Macierz odpowiadająca   składa się po prostu z wyrazów  

Podobnie grupa   pierścienia   może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego  -modułu o randze  

WyznacznikiEdytuj

Macierz jest odwracalna nad ciałem   wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd   może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego   jest nieco subtelniejsza: macierz nad   jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w   tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w   Stąd   może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym   nie ma sensu. W tym przypadku grupa   może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych  

Specjalna grupa liniowa SL(n, R)Edytuj

Specjalną grupą liniową stopnia   nad ciałem   nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia   o elementach z ciała   których wyznacznik jest równy jedności[1]. Specjalną grupę liniową oznacza się przez   lub  

WłasnościEdytuj

  • Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
  • Jeżeli   lub   to   jest grupą Liego wymiaru   grupa ta jest podgrupą grupy  
  • Algebra Liego   grupy   składa się ze wszystkich macierzy   o zerowym śladzie; nawias Liegotej algebry jest zadany przez komutator macierzy.
  • Specjalna grupa liniowa   może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych   zachowujących objętość i orientację.

Rozmaitość algebraicznaEdytuj

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

  może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru   nad  

Ciała skończoneEdytuj

Jeżeli   jest ciałem skończonym o   elementach, to zamiast   piszemy czasami   Jeżeli   jest liczbą pierwszą, to   jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy   a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ   jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

Rząd grupyEdytuj

Rząd grupy   wynosi

 

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie  -ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych   kolumn.

Przykładowo   ma rząd równy   Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fana oraz grupy  

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad   innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru   Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla   to

 

Inne podgrupyEdytuj

Podgrupy diagonalneEdytuj

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę grupy   nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z   W ciałach takich jak   czy   odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

W szczególności, jeżeli wszystkie elementy na diagonali są równe, to macierz jest tzw. macierzą skalarną, będąca iloczynem stałej liczby oraz macierzy jednostkowej.

Grupy klasyczneEdytuj

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami   zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej   Są to między innymi

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

WłasnościEdytuj

  • Jeśli   to   nie jest abelowa.
  •   jest podgrupą normalną  
  • Niech   będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów   różnych od zera) ciała   wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:
     
  • Z definicji jądra wynika, że jądrem   jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem  
  • Więcej,   jest produktem półprostym  
  • Grupa   w przeciwieństwie do   jest jednospójna. Dodatkowo   ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna   czyli   dla   oraz   dla  
  • Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą   izomorficzną z  
  • Grupa skalarna stanowi centrum   zatem jest ona normalna i przemienna.
  • Centrum   to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki  -tego stopnia w ciele  

Podobne grupyEdytuj

Projektywna grupa liniowaEdytuj

Projektywna grupa liniowa   oraz specjalna projektywna grupa liniowa  grupami ilorazowymi   oraz   przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

Grupa afinicznaEdytuj

Grupa afiniczna   jest rozszerzeniem   o grupę przesunięć w   Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

 

gdzie   działa na   w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową  

Zobacz teżEdytuj

Grupy

Inne pojęcia

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.