Otwórz menu główne

Pentagramma mirificum

pojęcie geometrii sferycznej

Pentagramma mirificum (łac. cudowny pentagram) – w geometrii sferycznej wielokąt gwiaździsty złożony z pięciu łuków kół wielkich, którego wszystkie kąty wewnętrzneproste. Figurę tę opisał John Napier w pracy Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Opis cudownej reguły logarytmów) z roku 1614 wraz z regułą Nepera, która wiąże wartości funkcji trygonometrycznych pięciu części trójkąta sferycznego prostokątnego (dwóch kątów i trzech boków). Własności pentagramma mirificum badał między innymi Carl Friedrich Gauss[1].

Przykładowe konfiguracje pentagramma mirificum
Zależności między kątami i bokami pięciu trójkątów prostokątnych przyległych do wewnętrznego pięciokąta: ich koła Nepera zawierają przesunięte cyklicznie części

Spis treści

Własności geometryczneEdytuj

Na sferze miarą kąta wyraża się zarówno kąty, jak i boki trójkątów sferycznych (łuki kół wielkich). Kąty         i   są proste. Miara łuków                   i   wynosi   W pięciokącie sferycznym   każdy wierzchołek jest biegunem przeciwległego boku. Na przykład punkt   jest biegunem równika   punkt   – biegunem równika   i tak dalej[2]. Miara kąta zewnętrznego przy każdym wierzchołku pięciokąta   jest równa mierze przeciwległego boku. Na przykład     i tak dalej. Koła Nepera trójkątów         i   są obrócone względem siebie.

Wzory GaussaEdytuj

Gauss wprowadził oznaczenia

 

Zachodzą następujące tożsamości, które pozwalają na wyznaczenie dowolnych trzech z powyższych wielkości na podstawie dwóch pozostałych[3]:

 
 
 
 
 

Gauss udowodnił następującą „piękną równość” (schöne Gleichung)[3]:

 

Spełniają ją na przykład liczby   których iloczyn   wynosi  

Dowód pierwszej części równości:

            c.b.d.u.

Dowód drugiej części równości:

        c.b.d.u.

Również od Gaussa[3] pochodzi wzór

 

gdzie   to pole powierzchni pięciokąta  

Rzut gnomonicznyEdytuj

Obrazem pięciokąta sferycznego   w rzucie gnomonicznym (rzucie o środku w środku sfery) na dowolną płaszczyznę styczną do sfery jest pięciokąt prostoliniowy. Jak wiadomo, przez jego pięć wierzchołków   przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa; w tym wypadku jest to elipsa. Gauss wykazał, że wysokości pięciokąta   (proste przechodzące przez wierzchołki i prostopadłe do przeciwległych boków) przecinają się w jednym punkcie   który jest obrazem punktu styczności płaszczyzny rzutu i sfery[4].

Arthur Cayley zauważył, że jeśli obrać środek układu współrzędnych kartezjańskich w punkcie   to między współrzędnymi wierzchołków     zachodzi związek           gdzie   to długość promienia sfery[5].

PrzypisyEdytuj

  1. Pentagramma mirificum. W: Carl Friedrich Gauss: Carl Friedrich Gauss Werke: Band III. Analysis. Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1866, s. 481–490.
  2. Bruce Director. From Plato’s Theaetetus to Gauss’s Pentagramma Mirificum: A Fight for Truth. „Executive Intelligence Review”. 32 (39), s. 40–49, 2005-10-07. 
  3. a b c H.S.M. Coxeter. Frieze patterns. „Acta Arithmetica”. 18, s. 297–310, 1971. 
  4. Bruce Director: On the 375th Anniversary of Kepler’s Passing. [dostęp 2018-12-25].
  5. Professor Cayley F.R.S. On Gauss’s pentagramma mirificum. „The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science”. 42 (280), s. 311–312, 1871. DOI: 10.1080/14786447108640572.