Pierścień endomorfizmów

Pierścień endomorfizmówpierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.

Grupy abeloweEdytuj

Niech   będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy   są endomorfizmy określone na   tzn. homomorfizmy grupowe   Każde dwa takie endomorfizmy   oraz   mogą być dodawane (zgodnie z wzorem  ), a ich wynik,   również jest endomorfizmem   Co więcej,   i   mogą być składane, dając tym samym endomorfizm   Zbiór wszystkich endomorfizmów   wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na   Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne.

Uwaga
Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmem[1]

Moduły i przestrzenie linioweEdytuj

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego[2], ang. regular). Odwrotnie,  -moduł   jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia   w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej  

Jeżeli   jest przestrzeń liniową nad ciałem   to pierścień endomorfizmów   (składający się ze wszystkich  -przekształceń liniowych  ) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu   o elementach z  [3] (zob. macierz).

Teoria kategoriiEdytuj

W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych   w kategorię pierścieni   za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.

WłasnościEdytuj

  • Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna.

Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.:

  • jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura)[4];
  • moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentów[5]. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.

PrzypisyEdytuj

  1. David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.
  2. Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu   istnieje homomorfizm   taki, że     jest projektywny i  
  3. Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. s. 23–24.
  4. Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.
  5. Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.