Otwórz menu główne

Pierścień kołowy

Pierścień kołowyzbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach[1].

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie dowolnym punktem płaszczyzny euklidesowej   zaś   oraz   odcinkami na niej leżącymi. Bez straty ogólności możemy założyć, że  [1].

Pierścieniem kołowym nazywamy różnicę zbiorów dwóch kół o promieniach   oraz   czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań

 

lub równoważnie

 

Płaszczyzna zespolonaEdytuj

W analizie zespolonej pierścień kołowy   jest otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej:

 

Jeżeli   to obszar ten nazywany jest czasem kołem (dyskiem) bez punktu o promieniu   wokół punktu  

Jako podzbiór płaszczyzny zespolonej pierścień kołowy może być rozważany jako powierzchnia Riemanna. Struktura zespolona pierścienia zależy wyłącznie od współczynnika   Każdy pierścień kołowy   może być odwzorowany holomorficznie w wyśrodkowany pierścień o promieniu zewnętrznym równym   za pomocą przekształcenia

 

Promień wewnętrzny jest wtedy związany relacją  

Twierdzenie Hadamarda mówi o wartości maksymalnej jaką może przyjąć funkcja holomorficzna wewnątrz pierścienia kołowego.

TopologiaEdytuj

Otwarty pierścień kołowy jest topologicznie równoważny z otwartym walcem   i płaszczyzną bez punktu.

PoleEdytuj

Pole pierścienia jest różnicą pól kół o promieniach   i  

 

Znając wartość obwodów pierścienia: zewnętrznego   i wewnętrznego  

 

Wynik ten może być otrzymany metodami analitycznymi przez podzielenie pierścienia na nieskończenie wiele pierścieni o nieskończenie małych szerokościach   i polach   (= długość okręgu razy szerokość) i całkowaniu od   do  

 

Ciekawostką jest fakt, że pole pierścienia może zostać otrzymane również przez pomnożenie pi przez kwadrat połowy najdłuższego odcinka całkowicie zawartego w tym pierścieniu.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Jeżeli są one równe, to pierścień jest zdegenerowany, czyli opisuje okrąg.

Linki zewnętrzneEdytuj