Pierścień przemienny

Pierścień przemienny (rzad. komutatywny) – pierścień, w którym mnożenie jest przemienne („komutatywne”), czyli którego wszystkie elementy ze sobą komutują, tj. dla dowolnych elementów danego pierścienia zachodzi

Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu elementu neutralnego mnożenia (zob. pierścień z jedynką)[1].

PrzykładyEdytuj

 
  • Pierścienie klas reszt modulo   są przemienne dla dowolnego  
  • Jeżeli   jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej   o współczynnikach z   wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień wielomianów   który również jest przemienny.
  • Zbiór wszystkich liczb postaci   gdzie   i   są dowolnymi liczbami całkowitymi.
  • Twierdzenie Wedderburna[2]: każdy skończony pierścień z dzieleniem (tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny), jest przemienny (a więc jest ciałem).

PrzypisyEdytuj

  1. Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
  2. J.H.M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349–352, 1905. Amer. math. Soc..