Otwórz menu główne

Pierścień wielomianów

Pierścień wielomianówpierścień określony na zbiorze wielomianów jednej lub więcej zmiennych o współczynnikach z ustalonego pierścienia. Pierścienie wielomianów stanowiły inspirację do rozwoju wielu działów matematyki, począwszy od twierdzenia Hilberta o bazie, przez konstrukcję ciał rozdzielczych, po rozumienie operatora liniowego. Wiele ważnych hipotez, takich jak hipoteza Serre'a, wpłynęło na badania nad innymi rodzajami pierścieni, a nawet było źródłem nowych definicji pierścieni, takich jak pierścienie grupowe, czy pierścienie szeregów formalnych.

Wielomiany jednej zmiennejEdytuj

WielomianyEdytuj

Wprowadzenie do wielomianów jednej zmiennej można znaleźć w artykule o wielomianach.

Niech dany będzie dowolny pierścień z jedynką   oraz symbol   nazywany zmienną oraz jego potęgi, czyli symbole postaci   gdzie   jest nieujemną liczbą całkowitą. Wielomianem zmiennej   nad   nazywa się wyrażenie postaci

 

gdzie elementy   nazywa się współczynnikami tego wielomianu.

Przyjmując zwyczajowo   oraz   powyższe można zapisać jako kombinację liniową

 

Wyrażenia postaci   nazywa się wyrazami, wyraz   często określa się mianem wyrazu wolnego. Dowolny wyraz   o zerowym współczynniku,   zwykle się pomija.

Dwa wielomiany uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie współczynniki przy każdej potędze   są sobie równe. Stopniem wielomianu nazywa się największe takie   dla którego współczynnik przy   jest niezerowy. W przypadku wielomianu zerowego stopień jest niezdefiniowany lub, z racji pożądanych własności algebraicznych tego symbolu, przyjmuje się oznaczenie  

Pierścień wielomianówEdytuj

Sumy powyższej postaci można dodawać i mnożyć zgodnie ze zwykłymi regułami operowania na wyrażeniach algebraicznych takich jak łączność, przemienność (w odpowiednim przypadku), rozdzielność i łączenie wyrazów podobnych z zachowaniem tożsamości   dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych   Działania dodawania i mnożenia dane explicite odpowiednio wzorami[1]

 

oraz

 

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników   oraz   jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z   co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej   o współczynnikach z pierścienia   tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny oznaczany symbolem   nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej   nad pierścieniem   Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak   oraz jego potęgi   traktuje się jako symbole formalne spoza pierścienia   O pierścieniu   można myśleć jako o pierścieniu powstałym z   przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu   oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że   będzie tworzyć pierścień; prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg   o współczynnikach z  

KonstrukcjaEdytuj

Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia   definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.

Dla ciągów

 

oraz

 

można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:

 
 

co czyni ze zbioru   wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad   pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.

Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień

 
 
 
  itd.,

przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.

WłasnościEdytuj

Funkcja wielomianowaEdytuj

Wartością wielomianu

 

w punkcie   nazywa się element

 

Przyporządkowanie   dane wzorem   nazywa się ewaluacją wielomianu   w punkcie   Pierwiastkami wielomianu   nazywa się wszystkie te elementy   dla których wartość wielomianu jest równa zeru.

Funkcją wielomianową nazywa się przekształcenie   dane wzorem   które przyporządkowuje każdemu elementowi pierścienia   jego wartość, co można zapisać wzorem

 

gdzie  

Przekształcenie przyporządkowujące każdemu wielomianowi   jego funkcję wielomianową   oraz przekształcenie  homomorfizmami pierścieni. Jądro homomorfizmu   stanowią wielomiany, dla których   jest pierwiastkiem (z twierdzenia Bézouta – podzielne przez  ).

W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze zwykle jest to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z2 funkcje   i   są identyczne, gdyż   oraz   W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

Pochodna wielomianuEdytuj

Osobny artykuł: pochodna wielomianu.

Pochodną wielomianu określa się wzorem

 

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia   tj. różniczkowanie wielomianów może być określone np. w pierścieniu klas reszt modulo n, gdzie branie granicy nie ma sensu. Tak określona pochodna ma następujące własności:

 
 

Za pomocą indukcji matematycznej można określić  -tą pochodną wielomianu:

 

Teoria podzielnościEdytuj

Wielomian   nazywa się wielomianem nierozkładalnym w   gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

UogólnieniaEdytuj

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

  • na funkcje wymierne – ciało ułamków pierścienia całkowitego   oznacza się przez   i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
  • na większą liczbę zmiennych (patrz niżej);
  • usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest  

Wielomiany wielu zmiennychEdytuj

Pierścień wielomianów   nad pierścieniem wielomianów   nad pierścieniem   nazywa się pierścieniem wielomianów zmiennych   nad pierścieniem   i oznacza   Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów   zmiennych[2] wzorem

 

Wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci   Ogólniej, każdy wielomian   zmiennych w postaci

 

gdzie   jest zbiorem skończonym.

Wielomiany symetryczneEdytuj

Mając dany wielomian   można dokonać na nim permutacji zmiennych   otrzymując nowy wielomian:

 

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji   lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu   Przykład: wielomian   nie zmienia się po zamianie zmiennych   i  

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa   Przykładem mogą być wielomiany

 
 

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi   zmiennych nazywa się wielomiany

 
 
 
 

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny   zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego   istnieje taki wielomian   że:

 

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Przy czym w pierwszym przypadku dopisuje się „ślepe” wyrazy o zerowych współczynnikach, aby zagwarantować formalnie ten sam zbiór potęg w obu składnikach; w drugim przypadku sumowanie wewnętrzne po prawej stronie odbywa się wyłącznie po wskaźnikach z zakresu, tzn.   oraz   uniknięcie tych problemów jest możliwe poprzez przyjęcie wzorów   oraz  
  2. Możliwe jest także zdefiniowanie pierścienia wielomianów nieskończonej liczbie zmiennych.