Otwórz menu główne

Pierwiastkowanie

operacja odwrotna względem potęgowania
Ten artykuł dotyczy odwrócenia potęgowania. Zobacz też: inne znaczenia tego pojęcia.
Fragment wykresu funkcji

Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ może istnieć wiele liczb, które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę (są to tzw. pierwiastki algebraiczne), to pierwiastkowanie nie może być w ogólności traktowane jako działanie. Jeśli jednak odpowiednio ograniczyć dziedzinę działania potęgowania, to potęgowanie staje się funkcją odwracalną (i ta funkcja odwrotna wyznacza tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych; pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Pierwiastki pojawiają się np. w teorii szeregów, gdzie kryterium Cauchy’ego (pierwiastkowe) służy wyznaczaniu promienia zbieżności szeregu potęgowego.

DefinicjaEdytuj

Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita   nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby   stopnia   nazywa się taką liczbę   która podniesiona do n-tej potęgi jest równa   innymi słowy jest to dowolna liczba   spełniająca równość

 

Innymi słowy, pierwiastek stopnia   z liczby   jest pierwiastkiem wielomianu   zmiennej  

Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest   W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

Dla nieparzystych   każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych  

Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym, zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu   (zob. wyżej), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby   odpowiadają kolejno symbole   itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku ułamkowym, tzn.

 

Przykłady i własnościEdytuj

Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż   Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest -2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby[a], które wraz z 2 oraz -2 są pierwiastkami algebraicznymi 4. stopnia z 16.

Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być   lecz nie istnieje żaden rzeczywisty pierwiastek szóstego stopnia z jakiejkolwiek liczby ujemnej.

Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną[b]; przykładem liczby naturalnej, której pierwiastek jest niewymierny jest 2:

 

Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną. Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych, są algebraiczne.

Jeżeli   są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś   są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

  •  
  •   dla  
  •  
  •  

Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu:

 

o ile   Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumianowego.

Pierwiastek zespolonyEdytuj

Dla dodatniej liczby całkowitej   pierwiastkiem stopnia   z liczby zespolonej   nazywa się dowolną liczbę   spełniającą równość

 

Każda niezerowa liczba zespolona (a więc i rzeczywista)   ma   różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z jedynki.

Pierwiastki z liczby zespolonej   można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre’a:

 

dla   (powyższy symbol pierwiastka oznacza pierwiastek arytmetyczny).

Przykładowo dla liczby   jest   a ponadto   a więc w postaci biegunowej ma ona postać  

Pierwiastkami drugiego stopnia z   są:

 
 

HistoriaEdytuj

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła[potrzebny przypis] podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową) oznaczającego „korzeń”. Wielu, w tym Leonhard Euler[1] sądziło, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix (również oznaczającego „korzeń”), które oznacza to samo działanie matematyczne.

Nieużywany w języku polskim termin surd, traktowany niekiedy jako nazwa symbolu √[2], pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie assam („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych[3].

Symbolu √ użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa. Vinculum zostało po raz pierwszy użyte przez Kartezjusza w Geometrii (1637) do oznaczania całych wyrażeń algebraicznych podlegających pierwiastkowaniu[2].

Stosowana przez Kartezjusza notacja dla pierwiastków stopnia wyższego niż dwa nie przyjęła się (np.   Kartezjusz zapisywał jako  [c])[2]. Współczesną notację stopnia pierwiastka zaproponował Albert Girard w pracy z 1629 roku; utrwaliła się ona w pierwszej połowie XVIII w.[4]

TypografiaEdytuj

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej[5].

Znak Nazwa polska[d] Nazwa unikodowa Unikod Encja HTML URL
dec hex name
pierwiastek kwadratowy SQUARE ROOT U+221A √ √ √ %E2%88%9A
pierwiastek sześcienny CUBE ROOT U+221B ∛ ∛ %E2%88%9B
pierwiastek czwartego stopnia FOURTH ROOT U+221C ∜ ∜ %E2%88%9C
kreska wiążąca górna OVERLINE U+203E ‾ ‾ ‾ %E2%80%BE
kreska wiążąca górna dostawna COMBINING OVERLINE U+0305 ̅ ̅ %00%CC%85

W LaTeX-u:

  • pierwiastek   zapisywany jest jako \sqrt x;
  • pierwiastek   zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Są nimi   oraz   zob. sekcję Pierwiastek zespolony.
  2. Dowód nie wprost. Niech dla pewnej liczby naturalnej   jej pierwiastek   będzie niecałkowitą liczbą wymierną; wówczas   i istnieją takie liczby naturalne, które mnożone przez   dają liczby naturalne. Najmniejsza z nich (istnieje na mocy zasady dobrego uporządkowania) będzie oznaczana literą   niech ponadto   która jest mniejszą od   Wtedy   jest liczbą całkowitą, gdyż wyrazy sumy są iloczynami liczb całkowitych, w ten sposób   przeczy minimalności   co kończy dowód.
  3.   od łac. cube, sześcian; zob. Definicja.
  4. Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.

PrzypisyEdytuj

  1. Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis. 1755. (łac.)
  2. a b c Kartezjusz: Geometria. Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka (tłum., komentarz). Kraków: TAiWPN UNIWERSITAS, 2015, s. 12, 15, 166, 299. ISBN 978-83-242-2759-4.
  3. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Mathematics Pages by Jeff Miller. [dostęp 2008-11-30].
  4. A.P. Juszkiewicz: Historia matematyki. Matematyka XVII stulecia. T. 2. 1976, s. 46. (pol.)
  5. Oxford Advanced Learner’s Dictionary of Current English. T. 2: L-Z. Warszawa: Oxford Uniwersity Press/PWN, 1988, s. 737. ISBN 83-01-02448-8.