Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych[a] oraz pierwiastków stopni naturalnych.

Pierwiastnikiem względem liczb oraz jest np. Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.

Definicja formalnaEdytuj

Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)Edytuj

Liczbę zespoloną   można przedstawić za pomocą pierwiastników[1], jeśli istnieją liczby zespolone   oraz liczby naturalne   takie, że kładąc

  (ciało liczb wymiernych),   (rozszerzenie ciała   o element  ) dla  

będziemy mieli

  •   dla wszystkich   oraz  

Liczbę   nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy   przez pewne ciało   to otrzymamy definicję przedstawialności liczby   w pierwiastnikach nad ciałem   Jeśli   to powiemy, że   jest przedstawialna w pierwiastnikach względem  .

Definicja 2 (ogólniejsza)Edytuj

Niech   będzie ciałem o charakterystyce 0. Element   jest pierwiastnikowy względem ciała   (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała  ), gdy istnieje ciąg ciał   oraz   dla których zachodzi warunek:

  • dla   ciało   jest ciałem rozkładu wielomianu postaci  

Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała   oznacza się zwykle przez   i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała  [2].

Jeśli   jest ciałem charakterystyki   to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:

  • dla   ciało   jest ciałem rozkładu wielomianu postaci   gdzie   albo wielomianu postaci  [3].

WłasnościEdytuj

  • Zbiór   jest ciałem[4].
  • Każdy element pierwiastnikowy względem   należy do  [4].
  • Jeśli   oraz równanie
 
nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.
  • Jeżeli   i   są liczbami pierwszymi, to równanie   nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem  [5].

Znaczenie i użycieEdytuj

Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (między innymi Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferra i Tartaglię, a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrariego dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (to znaczy poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała   (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, można ograniczyć się do linijki[6].

UwagiEdytuj

  1. A więc także potęgi o wykładnikach naturalnych jako wielokrotne mnożenie.

PrzypisyEdytuj

  1. Wacław Sierpiński: Zasady algebry wyższej, „Monografie Matematyczne”. Tom 11, Rozdział 13. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.
  2. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 112.
  3. Browkin, op. cit., s. 112.
  4. a b Browkin, op. cit., s. 114.
  5. Browkin, op. cit., s. 144.
  6. Browkin, op. cit., s. 158.