Otwórz menu główne

Spis treści

Pochodne Wirtingera, operatory Wirtingera[1]operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu zachowujące się w bardzo podobny sposób do zwykłych pochodnych względem zmiennej rzeczywistej po przyłożeniu ich do funkcji holomorficznych, antyholomorficznych lub po prostu różniczkowalnych w obszarach płaszczyzny zespolonej. Operatory te umożliwiają, dla wspomnianych funkcji, konstrukcję rachunku różniczkowego całkowicie analogicznego do rachunku różniczkowego zwyczajnego funkcji zmiennych rzeczywistych[2]. Pojęcie nosi nazwisko Wilhelma Wirtingera, który wprowadził je w 1927 roku.

Pomimo ich powszechnego zastosowania[3], zdaje się, że brakuje pracy, która zawierałaby wszystkie własności pochodnych Wirtingera; jednakże krótki kurs wielowymiarowej analizy zespolonej autorstwa Andreottiego (1976)[4] i monografia Kaupa (1984)[5] zawierają dość kompletny wykład na ich temat; z tego powodu będą używane w tym artykule jako główne źródło odniesienia.

Uwagi historyczneEdytuj

Pochodne Wirtingera wykorzystywano w analizie zespolonej, jak to zauważyli Cherry i Ye (2001, s. 31), co najmniej od czasów pracy Poincarégo (1899). Istotnie, w trzecim akapicie[6] tej pracy Henri Poincaré definiuje najpierw zmienną zespoloną w   a następnie jej sprzężenie zespolone wzorem

 

gdzie wskaźnik   ma w domyśle przebiegać od 1 do n. Następnie pisze on równanie definiujące funkcje, które nazywa on biharmonique[7], wcześniej zapisane za pomocą pochodnych cząstkowych względem zmiennych rzeczywistych   dla   oraz   przebiegających od   do   w dokładnie następujący sposób[8]

 

Oznacza to, że przyjął on drugą (wielowymiarową) definicję przedstawioną niżej: aby się o tym przekonać, wystarczy porównać równania 2 oraz 2' w pracy Poincarégo (1899, 112). Jednakże pierwsze systematyczne wprowadzenie pochodnych Wirtingera pochodzi od Wilhelma Wirtingera (1926), które miało na celu uproszczenie obliczeń wielkości pojawiających się w teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych: wynikiem wprowadzenia tych operatorów różniczkowych było znaczące uproszczenie postaci wszystkich operatorów różniczkowych, powszechnie stosowanych w teorii, jakimi są np. operator Leviego czy operator Cauchy’ego-Riemanna.

KonwencjeEdytuj

Dalej płaszczyzna zespolona   będzie utożsamiana z płaszczyzną euklidesową  .

W przypadku wielowymiarowym symbol   będzie oznaczać przestrzeń euklidesową nad ciałem liczb zespolonych i będzie wykorzystywane następujące utożsamienie:

 

Wówczas   będzie traktowany jako wektor zespolony   gdzie   oraz   są wektorami rzeczywistymi, przy czym   ponadto podzbiór   będzie postrzegany jako obszar rzeczywistej przestrzeni euklidesowej   lub też jej zespolonej odpowiedniczki z nią izomorficznej,  

DefinicjeEdytuj

Pochodne Wirtingera definiuje się jako następujące liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

 

W przypadku wielowymiarowym pochodne Wirtingera przyjmuje się, że są to następujące macierzowe liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

 

Naturalną dziedziną definicji tych operatorów różniczkowych cząstkowych jest przestrzeń   funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły określonych na obszarze   dla   jednakże ponieważ operatory te są liniowe i mają stałe współczynniki, to mogą być łatwo rozszerzone na każdą przestrzeń funkcji uogólnionych.

Podstawowe własnościEdytuj

Dowody poniższych własności wynikają wprost z przyjętych definicji.

Liniowość

Jeżeli   zaś   to dla wszystkich   zachodzi następująca równość

 
Reguła Leibniza

Jeżeli   to dla wszystkich   zachodzi reguła Leibniza:

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Zob. Fichera 1986, s. 62.
  2. Niektóre podstawowe własności pochodnych Wirtingera pokrywają się z własnościami charakteryzującymi pochodne zwyczajne (lub cząstkowe) używane do konstrukcji zwykłego rachunku różniczkowego.
  3. Z powołaniem się na nazwisko Wilhelma Wirtingera lub nie.
  4. Aldo Andreotti wykorzystuje własności pochodnych Wirtingera w celu wykazania zamkniętości algebry funkcji holomorficznych ze względu na pewne operacje.
  5. Ta książka zawiera pewne własności pochodnych Wirtingera także w przypadku ogólnym funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły.
  6. Zob. Poincaré 1899, s. 111-114.
  7. Funkcje te są dokładnie pluriharmonicznymi, a operator różniczkowy liniowy je definiujący, tzn. operator w równaniu 2 w pracy Poincarégo (1899, s. 112), jest n-wymiarowym operatorem pluriharmonicznym.
  8. Zob. Poincaré (1899, s. 112), równanie 2': w pracy tej, zamiast popularniejszego oznaczenia   to litera   służy jako symbol pochodnej cząstkowej.

LiteraturaEdytuj

BibliografiaEdytuj