Otwórz menu główne

Definicja formalnaEdytuj

Podłoga, część całkowita, cecha lub entier liczby rzeczywistej   oznaczana       lub   to największa liczba całkowita nie większa od   Symbolicznie:

 

Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej   to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od   Liczbę tę oznaczamy symbolem   Symbolicznie:

 

Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej   nazywa się liczbę   Oznacza się ją  

 

PrzykładyEdytuj

 
 
 

NazwyEdytuj

Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·],   dla cechy i {·} dla mantysy.

Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Donalda Knutha[potrzebny przypis], który zaproponował oznaczenie   dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego   Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit).

WłasnościEdytuj

Podłoga i sufitEdytuj

 
Wykres funkcji podłoga
 
Wykres funkcji sufit

Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:

 
 

Ponadto

 

przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:

 

Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.

Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:

 
 

Ponadto:

  •  
  •   dla dowolnego  

Część ułamkowaEdytuj

Część ułamkowa należy zawsze do przedziału   tzn.

 

dla dowolnej liczby rzeczywistej  

 
Wykres mantysy

Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako   gdzie   jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.

Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym  

Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:

 

o ile funkcja   jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.

Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.

Cecha i mantysa logarytmuEdytuj

Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:

  • Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
  • Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku „–” (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).

Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału  

PrzykładyEdytuj

Mantysa logarytmów liczb postaci   (gdzie   jest całkowite) wynosi   np.:

 

Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.: