Podgrupa charakterystyczna

Podgrupa charakterystycznapodgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie grupą. Podgrupę   nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu)   grupy   i dla każdego elementu   zachodzi   lub równoważnie  

Ta właściwość podgrupy   grupy   oznaczana jest symbolem   lub  

UwagiEdytuj

  • Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Sformułowanie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina   każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
  • Jednakże jeśli   i grupa   nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to   musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

Podgrupa ściśle charakterystycznaEdytuj

Podgrupa   nazwana zostanie ściśle charakterystyczną w   jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

Podgrupa całkowicie charakterystycznaEdytuj

Jeżeli   jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy   to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (CC-podgupą, również całkowicie niezmienniczą albo w pełni charakterystyczną bądź w pełni niezmienniczą). Innymi słowy, jeżeli   jest dowolnym homomorfizmem, to  

W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, zachodzi też twierdzenie odwrotne – każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.

Grupa elementarnaEdytuj

Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.

WłasnościEdytuj

  • Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
  • Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
  • Jeśli   jest grupą skończoną,   jest jej podgrupą normalną oraz   to  

PrzechodniośćEdytuj

Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli   jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą   a   (całkowicie) charakterystyczną podgrupą   to   jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą  

Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli:

  w szczególności zaś  

Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.

Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu:

podgrupapodgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.

PrzykładyEdytuj

  • Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
  • Jeżeli   jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory:   oraz   są podgrupami charakterystycznymi grupy  
  • Niech dana będzie grupa   (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum   jest jej drugi czynnik,   Pierwszy czynnik   zawiera podgrupę izomorficzną z   np.   Niech   będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu   na jej drugi współczynnik   z   oraz włożeniem   w   (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm   w którym obraz centrum   nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy  
  • Komutant dowolnej grupy   jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu   i dla każdego   zachodzi  
  • Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną.
  • Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.

Przekształcenia grupy auto- i endomorfizmówEdytuj

Jeżeli   to każdy automorfizm   indukuje automorfizm na grupie ilorazowej   istnieje stąd przekształcenie  

Jeżeli   jest podgrupą całkowicie charakterystyczną w   to analogicznie: każdy endomorfizm   indukuje endomorfizm   który daje przekształcenie  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • A. Bojanowska, P. Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow: Podstawy teorii grup. PWN, 1976.
  • W.R. Scott: Group Theory. Dover, 1987, s. 45–46. ISBN 0-486-65377-3.
  • W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial Group Theory. Dover, 2004, s. 74–85. ISBN 0-486-43830-9.