Otwórz menu główne

Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – dla danej grupy rodzaj podgrupy umożliwiający utworzenie grupy ilorazowej. W języku algebry ogólnej podgrupy normalne to kongruencje w grupach.

DefinicjeEdytuj

Podgrupę   grupy   nazywa się podgrupą normalną, jeśli wszystkie jej warstwy lewostronne są równe odpowiadającym im warstwom prawostronnym, tzn. gdy

 

dla wszystkich   Fakt ten oznacza się symbolem  

Warunki równoważneEdytuj

Niech   będzie podgrupą grupy   Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i)   jest podgrupą normalną,
(ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych   w   są równe, czyli  
(iii) relacja równoważności   na zbiorze   określona wzorem
 
jest zgodna z działaniem w grupie   czyli dla wszystkich  
 
(iii’) relacja równoważności   na zbiorze   określona wzorem
 
jest zgodna z działaniem w grupie   czyli dla wszystkich  
 
(iv) dla każdego   zachodzi  
(iv’) dla każdego   zachodzi  
(v) dla każdego   zachodzi  
(v’) dla każdego   zachodzi  
(vi-vi’) grupa   jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, czyli
  dla   dla dowolnego  
lub
  dla   dla dowolnego  
(vii)   jest sumą klas sprzężoności  
(viii) istnieje pewien homomorfizm określony na   którego jądrem jest  

Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.

Niektórzy autorzy używają oznaczenia   dla rodziny wszystkich podgrup normalnych grupy   (od ang. Normal Subgroup).

UwagiEdytuj

Podgrupy trywialne grupy   czyli zawarte w niej grupa trywialna oraz cała grupa   są w niej normalne – nazywa się je trywialnymi podgrupami normalnymi. Nietrywialne podgrupy normalne grupy   nazywa się właściwymi podgrupami normalnymi i oznacza czasem za pomocą symbolu   Grupa, która nie ma właściwych podgrup normalnych nazywa się grupą prostą.

Podgrupy normalne są niezmiennicze ze względu na działanie całej grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne. Podgrupy niezmiennicze ze względu na wszystkie automorfizmy nazywa się podgrupami charakterystycznymi.

WłasnościEdytuj

  • Normalność jest zachowywana przy epimorfizmach (suriektywnych homomorfizmach), a także braniu przeciwobrazów.
  • Normalność jest zachowywana przy braniu iloczynów prostych.
  • Podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy nie musi być normalna w tej grupie, tzn. normalność nie jest relacją przechodnią. Jednakże podgrupa charakterystyczna podgrupy normalnej jest normalna w grupie. Również podgrupa normalna czynnika centralnego jest normalna w grupie. W szczególności podgrupa normalna czynnika prostego jest normalna w całej grupie.
  • Każda podgrupa indeksu 2 jest normalna:
    Dowód. Jeżeli   to   jest podgrupą normalną w   (istnieją wyłącznie dwie warstwy lewostronne, jak i prawostronne: izomorficzne z   oraz z  dopełnieniem   stąd   co oznacza, że   jest normalna).
Ogólniej, podgrupa   taka, że   zawiera podgrupę   normalną w   indeksu dzielącego   nazywaną rdzeniem normalnym (ang. normal core). W szczególności, jeżeli   jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą rząd   to każda podgrupa o indeksie   jest normalna.

Struktura kraty w rodzinie podgrup normalnychEdytuj

Podgrupy normalne w   tworzą kratę ze względu na zawieranie zbiorów o elemencie najmniejszym   i największym   Dla danych dwóch podgrup normalnych   ich infimum określone jest jako ich przekrój (zawsze jest podgrupą):

 

a supremum dane jest jako grupa generowana przez te podgrupy (również zawsze jest podgrupą):

 

w przypadku grup przemiennych   jest równe iloczynowi kompleksowemu   dlatego przyjmuje się wtedy zwykle po prostu  

Związek z homomorfizmamiEdytuj

Podgrupy normalne są ważne ze względu na fakt, iż jeżeli   jest normalna w   to można skonstruować z niej grupę ilorazową   mnożenie na warstwach określone jest wzorem

 

Niech   oznacza element neutralny grupy. Istnieje naturalny homomorfizm   dany wzorem   Obraz   składa się wyłącznie z elementu neutralnego   warstwy  

W ogólności homomorfizm grup   przeprowadza podgrupy   na podgrupy   również przeciwobraz dowolnej podgrupy w   jest podgrupą w   Przeciwobraz podgrupy trywialnej   w   nazywa się jądrem homomorfizmu   i oznacza symbolem   Okazuje się, że jądro jest zawsze podgrupą normalną, a obraz   jest zawsze izomorficzny z   (pierwsze twierdzenie o izomorfizmie). Rzeczywiście, odpowiedniość ta jest bijekcją między zbiorem wszystkich grup ilorazowych   w   a zbiorem wszystkich obrazów homomorficznych   (co do izomorfizmu). Jądrem odwzorowania ilorazowego,   jest samo   a więc podgrupy normalne są dokładnie jądrami homomorfizmów o dziedzinie  

PrzykładyEdytuj

  • W dowolnej grupie przemiennej każda jej podgrupa jest normalna. Grupy w których każda podgrupa jest normalna nazywane są grupami Hamiltona, istnieją nieprzemienne grupy tego rodzaju.
  • Podgrupa obrotów   jest normalna w grupie izometrii wielokąta foremnego   gdzie   jest obrotem,   – dowolną symetrią osiową,   – liczbą wierzchołków wielokąta (podgrupa ta jest nawet charakterystyczna).
  • Podgrupa alternująca   grupy symetrycznej   jest w niej normalna, ponieważ   dla każdego  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj