Otwórz menu główne

Podprzestrzeń komplementarna

Podprzestrzeń komplementarnadomknięta podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowo-topologicznej o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa

tj. oraz Rozkład przestrzeni na sumę prostą domkniętych podprzestrzeni nazywany jest czasami topologiczną sumą prostą. Ponadto podprzestrzeń przestrzeni liniowo-topologicznej jest komplementarna wtedy i tylko wtedy, gdy jest obrazem pewnego ciągłego operatora liniowego spełniającego warunek (operatory idempotentne nazywane są rzutami). Czasami w geometrycznych rozważaniach dotyczących podprzestrzeni komplementarnych przestrzeni Banacha ważna jest norma rzutu na daną podprzestrzeń. Niech oraz będzie przestrzenią Banacha. Mówi się, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni jest -komplementarna, gdy istnieje rzut o normie

PrzykładyEdytuj

  • Każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest komplementarna. Wynika stąd, że każda podprzestrzeń kowymiaru skończonego w danej przestrzeni unormowanej jest także komplementarna.
  • Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta jest komplementarna; co więcej, istnieje rzut ortogonalny, którego jest ona obrazem – mówi o tym twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przestrzeń Banacha której każda domknięta podprzestrzeń jest komplementarna jest izomorficzna z przestrzenią Hilberta[1].
  • Twierdzenie Sobczyka mówi, że jeżeli   jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz   jest jej podprzestrzenią izomorficzną z przestrzenią c0, to   jest 2-komplementarna w   Stałej 2 nie można poprawić.
  • Phillips i Sobczyk pokazali niezależnie[2][3], że żadna podprzestrzeń przestrzeni   izomorficzna z   nie jest komplementarna.
  • W przestrzeniach ℓp dla   istnieją podprzestrzenie izomorficzne z   które nie są komplementarne[4][5][6].
  • Podprzestrzeń komplementarna przestrzeni z bazą Schaudera nie musi mieć bazy Schaudera[7].
  • W przestrzeni Banacha funkcji ciągłych   na liczbie porządkowej \omega\omega + 1 istnieje podprzestrzeń izomorficzna z   która nie jest komplementarna. Można stąd wyprowadzić podobny fakt dla przestrzeni typu   gdzie   jest zwartą przestrzenią metryczną o tej własności, że   nie jest izomorficzne z   (w tym wypadku   zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z  ).

PrzypisyEdytuj

  1. J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. On the complemented subspaces problem. „Israel J. Math.”, 19 (1971), s. 263–269.
  2. R.S. Phillips, On linear transformations, „Transactions of the American Mathematical Society”, 48 (1940), s. 516–541.
  3. A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c0, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 47 (1941), s. 938–947.
  4. J. Bourgain, A counterexample to a complementation problem, „Compositio Math”. 43 (1981), s. 133–144.
  5. H.P. Rosenthal. On the subspaces of Lp (p > 2) spanned by sequences of independent random variables. „Israel J. Math.” 8 (1970), s. 273–303.
  6. G. Bennett, L.E. Dor, V. Goodman, W.B. Johnson, C.M. Newman, On uncomplemented subspaces of Lp, 1 < p < 2, „Israel. Math.” 26 (2) (1977), s. 178–187.
  7. S.J. Szarek, A Banach space without a basis which has the bounded approximation property. „Acta Math.” 159 (1987), s. 81–98.