Otwórz menu główne

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowapodzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

Podzbiór przestrzeni liniowej nad ciałem jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich i spełnione są warunki:

[1].

Z obu powyższych warunków wynika, że zbiór jest zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że jest podzbiorem

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

PrzykładyEdytuj

 
Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.
  • W każdej przestrzeni liniowej   zbiory   oraz cała przestrzeń   są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
  • W przestrzeni współrzędnych   podzbiór złożony z wektorów postaci   dla   jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt  
  • Podobnie w przestrzeni   podzbiór złożony z wektorów postaci   gdzie   są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty   i  
  • W przestrzeni liniowej   wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
  • Jeżeli   jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

DziałaniaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową.

  • Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni   jest podprzestrzenią liniową[4]. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tego tej części wspólnej jako, że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.
  • Dla rodziny   podprzestrzeni liniowych przestrzeni   definiuje się ich sumę algebraiczną
 
Suma algebraiczna   podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni  [5].
Dowód
Niech
 
Wówczas
 
oraz
 
dla pewnych   Oznacza to, że
 
Niech   zaś   będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora   co wyżej uzyskuje się
 
Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę   podprzestrzeni liniowych   Ich sumę algebraiczną definiuje się jako
 
Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.
Sumę algebraiczną   nazywa się prostą, gdy   dla   stosuje się wówczas oznaczenie  

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni   wraz z działaniami   i   tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna[6].

Wymiar i kowymiarEdytuj

Zobacz też: wymiar.

Niech   będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni   sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem  ), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.

Niech   i   będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni   Między wymiarami przestrzeni   i   zachodzi związek[7][8]

 .

W szczególności[9][8]

 .

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli   są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni   że

 

to[10]

 .

Niech   oraz   będą podprzestrzeniami   Kowymiarem podprzestrzeni   w   oznaczanym   nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej   Jeżeli   jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

 

Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorówEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru   przestrzeni liniowej   definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór     (inne symbole:  ), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru   tj.

 

Zbiór   jest podprzestrzenią liniową przestrzeni   jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni   która zawiera zbiór  [2]. Zbiór   nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń   a przestrzeń   podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór   bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru  

Jeżeli zbiór   generuje przestrzeń   to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń   jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru   generującego przestrzeń   następujące warunki są równoważne

  1. zbiór   jest bazą przestrzeni  
  2. zbiór   jest liniowo niezależny,
  3. każdy wektor przestrzeni   można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru  [11].

PrzykładyEdytuj

  • Jeżeli   i   są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni   to
  oraz  
  • Podprzestrzeń przestrzeni   generowana przez zbiór   opisana jest w drugim z przykładów.

PrzypisyEdytuj

  1. Axler 1997 ↓, s. 13.
  2. a b Rutkowski 2006 ↓, s. 31.
  3. Rutkowski 2006 ↓, s. 233.
  4. Axler 1997 ↓, s. 17.
  5. Axler 1997 ↓, s. 14.
  6. Roman 2005 ↓, s. 39–40.
  7. Axler 1997 ↓, s. 33.
  8. a b Roman 2005 ↓, s. 50.
  9. Axler 1997 ↓, s. 36.
  10. Axler 1997 ↓, s. 34.
  11. Roman 2005 ↓, s. 46.

BibliografiaEdytuj

  • Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Wyd. 2. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 1997.
  • Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Cz. 2: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  • Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wyd. 5. PWN, 2006. ISBN 83-01-14388-6.
  • Steven Roman: Advanced Linear Algebra. Wyd. 2. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, seria: Graduate Texts in Mathematics 135. ISBN 978-0-387-24766-3. (ang.)