Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – twierdzenie mówiące o tym, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła to pochodna jej funkcji górnej granicy całkowania jest równa Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.
Jak widać, wyrażenie to jest ilorazem różnicowym funkcji w punkcie Przechodząc po obu stronach do granicy z otrzymujemy
Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest definicją pochodnej funkcji w punkcie
Ponieważ jasne jest, że gdy to W konsekwencji,
Ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie więc granica po prawej stronie równa jest wartości funkcji w punkcie Stąd
i dowód jest zakończony.
Powyższy dowód pokazuje różniczkowalność funkcji w punkcie o ile funkcja podcałkowa jest ciągła przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu Bez tego założenia nie możemy powoływać się na twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego. Dowód w pełnej ogólności może być przeprowadzony przy użyciu definicji całki Riemanna i sum Riemanna.
(2) Zauważmy najpierw, że jeśli wiemy że funkcja jest ciągła, to możemy zastosować pierwszą część twierdzenia. Ale w ogólnym przypadku funkcja może być nieciągła w wielu punktach i nie mamy podstaw aby twierdzić że funkcja jest wszędzie różniczkowalna. Przeprowadzimy więc dowód, odwołując się bezpośrednio do definicji całki Riemanna.
Wykażemy, że (co wystarczy, bo możemy zastąpić przez dowolny ).
Niech Ustalmy na pewien czas dodatnią liczbę Z definicji całki Riemanna widzimy, że możemy wybrać podział z punktami pośrednimi odcinka taki że dla każdego podziału rozdrabniającego mamy
Następnie wybierzmy podział rozdrabniający i taki, że oznaczając
oraz
mamy
(a) oraz
(b) jeśli to
Wybór podziału jest możliwy, bo aby zapewnić warunek (a) wystarczy dobrać (dla ) dostatecznie blisko siebie (pamiętajmy że jest ciągła), a aby zapewnić warunek (b) wystarczy skorzystać z twierdzenia Lagrange’a. Następnie zauważmy, że
Stąd widzimy, że
Tak więc pokazaliśmy, że dla dowolnej dodatniej liczby zachodzi nierówność Stąd wnioskujemy, że co należało udowodnić.
Twierdzenie podstawowe prawdziwe jest bez zmian również, gdy założymy całkowalność funkcji w sensie Lebesgue’a.
Lebesgue udowodnił kilka faktów będących wzmocnieniem omawianego twierdzenia. Mianowicie, jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale to jej pierwotna ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą Na odwrót, jeżeli funkcja jest różniczkowalna w przedziale a jej pochodna jest ograniczona w przedziale to jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i prawdziwy jest wzór:
Istnieje też wersja twierdzenia dla funkcji zmiennej zespolonej: jeżeli jest otwartym podzbiorem zbioru liczb zespolonych, a jest funkcją, która ma holomorficzną funkcję pierwotną na to dla dowolnej krzywejcałka krzywoliniowa
W końcu, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego można uogólnić także na całki krzywoliniowe i powierzchniowe na rozmaitościach. Najdalej idącym twierdzeniem w tym kierunku jest twierdzenie Stokesa.