Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – twierdzenie mówiące o tym, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła to pochodna jej funkcji górnej granicy całkowania jest równa Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.

James Gregory (1638–1675)

Prawdopodobnie twierdzenie to znał już nauczyciel Isaaca Newtona, Isaac Barrow (16301677). Pierwszy znany dowód przypisywany jest szkockiemu matematykowi Jamesowi Gregory’emu (16381675).

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, całkowalną w sensie Riemanna w przedziale   Wówczas:

(1) Funkcja   jest całkowalna na każdym przedziale   dla   i odwzorowanie   dane wzorem

 

jest ciągłe w przedziale   Jeżeli ponadto   jest ciągła w pewnym punkcie   to funkcja   jest różniczkowalna w   oraz  

(2) Jeżeli   jest funkcją ciągłą na   i różniczkowalną na   oraz

  dla każdego  

to

  innymi słowy, zachodzi wzór na całkę Leibnitza-Newtona  

oprócz tego na  

 

 

DowódEdytuj

(1) Wykażemy, że jeśli   jest ciągła na   to funkcja   dana wzorem

 

jest różniczkowalna w każdym punkcie odcinka   Niech   i   będą tak dobrane, by leżały w przedziale   Wówczas

 

i

 

Odejmując stronami, otrzymujemy

 

Z własności całki oznaczonej wynika, że

 

skąd mamy natychmiast

 

Na mocy twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego istnieje   takie, że

 

Stąd

 

a po podzieleniu obu stron przez  

 

Jak widać, wyrażenie to jest ilorazem różnicowym funkcji   w punkcie   Przechodząc po obu stronach do granicy z   otrzymujemy

 

Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest definicją pochodnej funkcji   w punkcie  

 

Ponieważ   jasne jest, że gdy   to   W konsekwencji,

 

Ponieważ funkcja   jest ciągła w punkcie   więc granica po prawej stronie równa jest wartości funkcji w punkcie   Stąd

 

i dowód jest zakończony.

Powyższy dowód pokazuje różniczkowalność funkcji   w punkcie   o ile funkcja podcałkowa   jest ciągła przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu   Bez tego założenia nie możemy powoływać się na twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego. Dowód w pełnej ogólności może być przeprowadzony przy użyciu definicji całki Riemanna i sum Riemanna.

(2) Zauważmy najpierw, że jeśli wiemy że funkcja   jest ciągła, to możemy zastosować pierwszą część twierdzenia. Ale w ogólnym przypadku funkcja   może być nieciągła w wielu punktach i nie mamy podstaw aby twierdzić że funkcja   jest wszędzie różniczkowalna. Przeprowadzimy więc dowód, odwołując się bezpośrednio do definicji całki Riemanna.

Wykażemy, że   (co wystarczy, bo możemy zastąpić   przez dowolny  ).

Niech   Ustalmy na pewien czas dodatnią liczbę   Z definicji całki Riemanna widzimy, że możemy wybrać podział z punktami pośrednimi   odcinka   taki że dla każdego podziału   rozdrabniającego   mamy

 

Następnie wybierzmy podział   rozdrabniający   i taki, że oznaczając

  oraz  

mamy

(a)   oraz
(b) jeśli   to  

Wybór podziału   jest możliwy, bo aby zapewnić warunek (a) wystarczy dobrać   (dla  ) dostatecznie blisko siebie (pamiętajmy że   jest ciągła), a aby zapewnić warunek (b) wystarczy skorzystać z twierdzenia Lagrange’a. Następnie zauważmy, że

 

Stąd widzimy, że

 
 

Tak więc pokazaliśmy, że dla dowolnej dodatniej liczby   zachodzi nierówność   Stąd wnioskujemy, że   co należało udowodnić.

PrzykładyEdytuj

  • Jeżeli funkcja   określona jest w przedziale [-1,1] wzorem:
 

to mimo iż jest ona nieciągła w punkcie 0, funkcja

 

ma pochodną w punkcie 0, lecz jest ona równa 1.

  • Oblicz pochodną funkcji
 

Na mocy twierdzenia podstawowego mamy natychmiast   co można również sprawdzić bezpośrednio, wyliczając całkę oznaczoną.

  • Oblicz pochodną funkcji
 

Zauważmy, że   gdzie   a   a zatem z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy

 

Ponieważ   na mocy twierdzenia podstawowego otrzymujemy

 

co również można sprawdzić, obliczając explicite całkę definiującą  

UogólnieniaEdytuj

Twierdzenie podstawowe prawdziwe jest bez zmian również, gdy założymy całkowalność funkcji w sensie Lebesgue’a.

Lebesgue udowodnił kilka faktów będących wzmocnieniem omawianego twierdzenia. Mianowicie, jeżeli funkcja   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale   to jej pierwotna   ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą   Na odwrót, jeżeli funkcja   jest różniczkowalna w przedziale   a jej pochodna   jest ograniczona w przedziale   to   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i prawdziwy jest wzór:

 

Istnieje też wersja twierdzenia dla funkcji zmiennej zespolonej: jeżeli   jest otwartym podzbiorem zbioru liczb zespolonych, a   jest funkcją, która ma holomorficzną funkcję pierwotną   na   to dla dowolnej krzywej   całka krzywoliniowa

 

W końcu, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego można uogólnić także na całki krzywoliniowe i powierzchniowe na rozmaitościach. Najdalej idącym twierdzeniem w tym kierunku jest twierdzenie Stokesa.

BibliografiaEdytuj

  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. XVI. Warszawa: 1979, s. 288–290.
  • Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. trzecie. T. 2. Warszawa: PWN, 1965, s. 99–100.