Dzielnik

Dzielnik – liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą. W matematyce elementarnej dzielnikiem liczby $x$ nazywa się dowolną liczbę, przez którą liczba $x$ się dzieli. W notacji matematycznej stwierdzenie „$m$ jest dzielnikiem $n$” zapisuje się jako $m\mid n$.

Definicja

Niech $a,b,c$ będą niezerowymi liczbami całkowitymi. Liczba $b$ jest dzielnikiem liczby $a,$ jeżeli istnieje taka liczba $c,$ że spełnione jest równanie

$a=bc.$

Mówi się wtedy, że $b$ dzieli $a$ bądź $a$ jest podzielne przez $b$ i zaznacza się symbolicznie $b|a.$ Liczbę $a$ nazywa się z kolei wielokrotnością liczby $b.$

Nazwa dzielnik ma swoją motywację w operacji dzielenia arytmetycznego: jeżeli

$a:b=c,$

to $a$ nazywa się dzielną, $b$ – dzielnikiem, a $c$ – ilorazem.

Własności i dalsze definicje

Prawdziwe są następujące reguły:

• Jeżeli $a\mid b$ i $a\mid c,$ to $a\mid (b+c).$ Więcej, $a\mid (mb+nc)$ dla dowolnych liczb całkowitych $m$ oraz $n.$
• Jeżeli $a\mid b$ i $b\mid c,$ to $a\mid c,$ co oznacza, że podzielność jest przechodnia.
• Jeżeli $a\mid b$ i $b\mid a,$ to $a=b$ lub $a=-b.$

Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Swoisty wyjątek stanowi tutaj liczba zero, ponieważ dzielenie jej przez nią samą oraz liczbę do niej przeciwną (czyli w obu przypadkach przez zero) zostało uznane przez matematyków za działanie o nieoznaczonym wyniku (patrz: Dzielenie przez zero). Dzielniki $1,\;-1,\;n,\;-n$ liczby $n$ nazywa się dzielnikami trywialnymi, wszystkie pozostałe nazywa się z kolei nietrywialnymi; liczby mające dzielniki nietrywialne nazywa się liczbami złożonymi, zaś te, które nie mają nietrywialnych dzielników nazywa się liczbami pierwszymi. Dzielnikiem właściwym liczby nazywa się każdy jej dodatni dzielnik, który jest od niej różny.

Podwielokrotnością liczby $n$ nazywa się każdą taką liczbę $a,$ dla której $n:a$ jest liczbą naturalną, w ten sposób $n$ jest wielokrotnością $a.$ W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.

Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:

• iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się $b\neq 0$ (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
• dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek $b>0,$ dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).

Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja $\tau$ (zob. funkcja τ; stosuje się również oznaczenia $\sigma _{0}$ oraz $d$), z kolei suma dzielników danej liczby wyznaczona jest za pomocą funkcji $\sigma$ (zob. funkcja σ).

Przykłady

Liczba $3$ dzieli liczbę $18,$ ponieważ $18=3\cdot 6.$

Dzielniki liczby $10$ należą do zbioru $\{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\},$ przy czym $-10,-1,1,10$ są dzielnikami trywialnymi, zaś $-5,-2,2,5$ są nietrywialne. Liczba $10$ ma cztery dzielniki dodatnie, zatem $\tau (10)=4;$ ich suma wynosi $18,$ dlatego $\sigma (10)=18.$

Uogólnienia

Definicję można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Jeżeli $x|y$ i $y|x,$ to elementy $x$ oraz $y$ nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem

$x\sim y\iff x|y\land y|x$

jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:

$x\sim y\iff x=cy,$

gdzie $c$ jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli $x|y,$ to dla dowolnej liczby $w$ takiej, że $w\sim x$ zachodzi również $w|y.$ Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie $1$ oraz $-1$). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i niebędące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.

Największy dzielnik elementu $x,$ który jest równocześnie dzielnikiem $y$ nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych $0$ jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).

Zobacz też

• arytmetyka modularna
• cecha podzielności
• czynnik pierwszy
• liczba doskonała
• równanie diofantyczne

Bibliografia

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Z języka angielskiego przełożyli Piotr Chrząstowski, Artur Czumaj, Leszek Gąsieniec, Marek Raczunas. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4.

Literatura dodatkowa

• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2003, s. 121. ISBN 83-7469-189-1.
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974.brak strony w książce