Porównanie topologii

lista w projekcie Wikimedia

Porównanie topologii – badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie są więc

  • nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory i że i
  • porównywalne, gdy lub

W szczególności, jeżeli topologie i są porównywalne, to mówi się, że jest silniejsza, bogatsza bądź większa od a jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od gdy

WłasnościEdytuj

Jeżeli  to słuszne są następujące stwierdzenia:

  • Każdy zbiór otwarty w topologii   jest również otwarty w topologii  
  • Każdy zbiór domknięty w topologii   jest również domknięty w topologii  
  • Domknięcie zbioru otwartego w topologii   jest zawarte w domknięciu tego zbioru w topologii  
  • Przekształcenie tożsamościowe   jest ciągłe.
  • Przekształcenie tożsamościowe   jest otwarte.

W szczególności, jeżeli   są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja   jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja

  •   gdy  
  •   gdy  

Rodzina   wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia trywialna/antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).

PrzykładEdytuj

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

  •   tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w  
  •   słabą topologię w  
  •   topologię *-słabą.

Zachodzi między nimi następujący związek:

 

Ogólniej, jeżeli   jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności  ).

Krata topologiiEdytuj

Osobny artykuł: topologie komplementarne.

Rodzina   wszystkich topologii w zbiorze   tworzy kratę zupełną z działaniami

  •  
  •  

dla  

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

BibliografiaEdytuj