Porównanie topologii

Porównanie topologii – badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina ${\mathfrak {T}}$ wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie $\tau _{1},\tau _{2}\in {\mathfrak {T}}$ są więc

• nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory $F_{1}\in \tau _{1}$ i $F_{2}\in \tau _{2},$ że $F_{1}\notin \tau _{2}$ i $F_{2}\notin \tau _{1}$
• porównywalne, gdy $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$ lub $\tau _{2}\subseteq \tau _{1}.$

W szczególności, jeżeli topologie $\tau _{1}$ i $\tau _{2}$ są porównywalne, to mówi się, że $\tau _{2}$ jest silniejsza, bogatsza bądź większa od $\tau _{1},$ a $\tau _{1}$ jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od $\tau _{2},$ gdy

$\tau _{1}\subseteq \tau _{2}.$

Własności

Jeżeli$\tau _{1}\subseteq \tau _{2},$ to słuszne są następujące stwierdzenia:

• Każdy zbiór otwarty w topologii $\tau _{1}$ jest również otwarty w topologii $\tau _{2}.$
• Każdy zbiór domknięty w topologii $\tau _{1}$ jest również domknięty w topologii $\tau _{2}.$
• Domknięcie zbioru otwartego w topologii $\tau _{1}$ jest zawarte w domknięciu tego zbioru w topologii $\tau _{2}.$
• Przekształcenie tożsamościowe $\operatorname {id} _{X}\colon (X,\tau _{2})\to (X,\tau _{1})$ jest ciągłe.
• Przekształcenie tożsamościowe $\operatorname {id} _{X}\colon (X,\tau _{1})\to (X,\tau _{2})$ jest otwarte.

W szczególności, jeżeli $\sigma _{1},\sigma _{2}$ są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja $f\colon (X,\tau _{1})\to (Y,\sigma _{2})$ jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja

• $f\colon (X,\tau _{1})\to (Y,\sigma _{1}),$ gdy $\sigma _{1}\subseteq \sigma _{2},$
• $f\colon (X,\tau _{2})\to (Y,\sigma _{2}),$ gdy $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}.$

Rodzina ${\mathfrak {T}}$ wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia trywialna/antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).

Przykład

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

• $\tau ^{*},$ tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w $X^{*},$
• $(\tau ^{*})^{w},$ słabą topologię w $X^{*},$
• $\tau ^{w^{*}},$ topologię *-słabą.

Zachodzi między nimi następujący związek:

$\tau ^{w^{*}}\subseteq (\tau ^{*})^{w}\subseteq \tau ^{*}.$

Ogólniej, jeżeli $(X,Y)$ jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności $(X,Y)$).

Krata topologii

Rodzina ${\mathfrak {T}}$ wszystkich topologii w zbiorze $X$ tworzy kratę zupełną z działaniami

• $\tau _{1}\wedge \tau _{2}=\tau _{1}\cap \tau _{2},$
• $\tau _{1}\vee \tau _{2}=\bigcap \{\tau \in {\mathfrak {T}}\colon \tau _{1}\cup \tau _{2}\subseteq \tau \}$

dla $\tau _{1},\tau _{2}\in {\mathfrak {T}}.$

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 28–30. ISBN 3-540-64241-2.
• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.brak strony w książce