Postać Jordana

Postać Jordana macierzy – macierz w specjalnej, prawie przekątniowej, postaci związana z daną macierzą przez przejście odpowiadające zmianie bazy. Nazwa była wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Camille Jordana.

Postać Jordana kwadratowej macierzy A to przedstawienie

gdzie:

Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała klatki (zwane klatkami Jordana), czyli

Zaś każda klatka Jordana ma daną wartość własną na diagonali i liczbę 1 ponad nią.

Każdej klatce Jordana odpowiada dokładnie jeden wektor własny, ale może istnieć kilka klatek Jordana o tej samej wartości własnej.

Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału gdzie N to wymiar macierzy A.

Macierz Jordana to macierz trójkątna górna. Można równie dobrze umówić się, że macierze Jordana są dolnotrójkątne (jedynki są poniżej diagonali), jednak historycznie przyjęto używać macierzy górnotrójkątnych.

Rozkład JordanaEdytuj

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci iloczynu trzech macierzy

 

przy oznaczeniach jak z początku artykułu.

Twierdzenie Jordana mówi, że nad ciałem algebraicznie domkniętym taki rozkład zawsze istnieje.

ZastosowaniaEdytuj

PodobieństwoEdytuj

Dwie macierze A i Bpodobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą postać Jordana. Pokażemy implikację w jedną stronę.

 

co daje

 

Potęgowanie macierzyEdytuj

Stosunkowo łatwo jest podnosić do potęgi macierz kwadratową w postaci Jordana.

 

TwierdzenieEdytuj

Twierdzenie Jordana – twierdzenie algebry liniowej o istotnym znaczeniu w teorii równań różniczkowych. Sformułowane przez francuskiego matematyka Camille Jordana.

Załóżmy, że   jest skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad ciałem algebraicznie domkniętym   (w szczególności, ciałem liczb zespolonych) oraz   jest endomorfizmem tej przestrzeni. Wówczas istnieje baza przestrzeni   w której   ma macierz w postaci macierzy klatkowej

 

gdzie każda macierz   jest postaci

 

Macierz   nazywamy klatką Jordana. Elementy diagonalne   są wartościami własnymi endomorfizmu   Liczba wystąpień danej liczby   na przekątnej macierzy nazywana jest krotnością wartości własnej  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Tadeusz Koźniewski: Wykłady z algebry liniowej II. Przestrzenie afiniczne i euklidesowe. Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2006.

Linki zewnętrzneEdytuj