Otwórz menu główne

Potęgowanie

działanie matematyczne

Potęgowaniedziałanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy[1], nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

Na przykład:

gdzie podstawą potęgi jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4.

Drugą potęgę nazywa się często kwadratem, a trzecią – sześcianem (zwykle w stosunku do wartości liczbowych, choć nie tylko). Określenia te nawiązują do geometrii, gdyż pole powierzchni kwadratu o boku długości wynosi a objętość sześcianu o tym samym boku jest równa

Potęga naturalnaEdytuj

Niech   oraz   będą liczbami naturalnymi. Symbol   oznacza wtedy  -krotne mnożenie elementu   przez siebie, czyli

 

i czyta się go „  podniesione do  -tej potęgi”, „  do  -tej potęgi” lub nawet „  do  -tej”. W szczególności

 
(1)

Z definicji potęgi wynika, iż   oraz   dla dowolnego  

Definicja ta ma sens, jeżeli elementy   pochodzą ze zbioru, w którym istnieje dobrze określone mnożenie (bądź składanie, zob. definicję grupy) elementów: najmniejsze wymagania względem niego, to bycie dwuargumentowym działaniem łącznym. W szczególności   może być również elementem dobrze znanych struktur takich jak liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste czy zespolone.

Zasadniczą własnością potęgi jest, iż dla dowolnych   zachodzi

 
(2)

Wynika ona z faktu, że

 

W tym przypadku 0 można zaliczyć do liczb naturalnych: ponieważ

 

to przyjmuje się, że

 
(3)

Przypadek   nie jest jednoznaczny, omówiono go oddzielnie w dalszej części artykułu.

Potęga całkowitaEdytuj

Definicję potęgowania łatwo rozszerza się na wykładniki ujemne: wyżej wystarczy przyjąć, iż   Z powyższych obserwacji wynika, iż

 

Z definicji elementu odwrotnego wynika, że   o ile   należy do zbioru, w którym określono dzielenie, przy czym   (konieczne jest i wystarczy, by   było elementem odwracalnym). Ogólniej:

 

dla  

Warto zauważyć, że dla   prawdziwa jest również własność

 
(4)

Pierwiastek, potęga wymiernaEdytuj

Zobacz też: pierwiastkowanie.

Własność (4) jest prawdziwa także dla wykładników wymiernych. Niech   będą względnie pierwsze, przy czym   wówczas   jest ułamkiem nieskracalnym. Pierwiastkiem  -tego stopnia z liczby nieujemnej   nazywa się rozwiązanie równania   Oznacza się je symbolem   a zamiast   pisze się zwykle po prostu   Jeżeli   to pierwiastkiem stopnia nieparzystego   nazywamy liczbę   Dla   parzystego taki pierwiastek rzeczywisty nie istnieje. Pierwiastek  -tego stopnia z liczby   oznaczamy również jako  

Powyższe obserwacje podsumowuje wzór

 
(5)

z którego widać, iż podniesienie elementu do potęgi   znosi działanie potęgi o wykładniku   zatem pierwiastkowanie można traktować jako działanie odwrotne względem  

W ten sposób definiuje się potęgę o wykładniku wymiernym wzorem

 
(6)

dla wszystkich   dla których ma on sens (patrz dalej).

Potęga rzeczywistaEdytuj

 
Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7

Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.

Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iż liczby rzeczywiste są możliwe do uzyskania jako granice ciągów liczb wymiernych (tzw. ciągi Cauchy’ego). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga   dla nieujemnych   oraz   Jeżeli   jest liczbą niewymierną, tzn.   to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych   o granicy w   i przyjąć

 

Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1–6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako

 

W obu przypadkach korzysta się z ciągłości.

Funkcja wykładniczaEdytuj

Osobny artykuł: funkcja wykładnicza.

Jeżeli   to układ równań funkcyjnych (por. (1) i (2)):

 

definiuje jedyną (wszędzie) ciągłą[2] funkcję   gdzie   dla której zachodzi

 

Funkcję   nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie   Z powodu dogodnych własności liczby   (podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą logarytmu naturalnego, definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. macierze kwadratowe, zob. dalej). Funkcja (elementarna)   może być zadana za pomocą szeregu potęgowego

 

który jest zbieżny dla dowolnego   (a nawet  ). Zachodzą własności (1–6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2–3):

 

oraz

 

Dowodzi się również ciągłości i monotoniczności funkcji   oraz tego, iż

 

Mając daną funkcję wykładniczą, definiuje się funkcję logarytmu naturalnego   będącą przypadkiem szczególnym funkcji logarytmicznej, jako funkcją odwrotną do  [3] dla   (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem

 

który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla   oraz  

Ujemna podstawaEdytuj

Równanie   nie ma rozwiązań rzeczywistych dla   oraz parzystego   choć ma jedno dla   nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista   będąca rozwiązaniem równania   dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik są względnie pierwsze) wymaga użycia jednostki urojonej   będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.

Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ   dla dowolnej   stąd dla   liczba   nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespolone liczb ujemnych, wybierając logarytm zespolony z  

Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona na ciągłości. Funkcja   ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego   lecz okazuje się, że jeżeli   to funkcja   nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.

Na przykład jeśli   to pierwiastkiem  -tego stopnia z   dla każdej nieparzystej liczby naturalnej   jest   Niech   będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas   dla   nieparzystych i   dla   parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych   dla których   jest gęsty w zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych   dla których   co oznacza, że funkcja   jest nieciągła w dowolnym punkcie   należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.

Liczby zespoloneEdytuj

Wykładnik zespolonyEdytuj

 
Funkcja wykładnicza   może być zdefiniowana jako granica ciągu   dla   dążącego do nieskończoności, stąd   jest granicą ciągu   W animacji przedstawiono zwiększające się w zakresie od 1 do 100 wartości   Wartość   jest przedstawiona jako wynik   kolejnych mnożeń na płaszczyźnie zespolonej, gdzie ostatni punkt jest właściwą wartością tego ciągu. Można zaobserwować, że ciąg   dąży do −1 wraz ze wzrostem   Stąd   równanie to znane jest jako tożsamość Eulera.

Kluczem do zrozumienia   dla rzeczywistych wartości   jest interpretacja geometryczna działań na liczbach zespolonych oraz definicja potęg liczby   czyli funkcji wykładniczej   Niech dany będzie na płaszczyźnie zespolonej trójkąt prostokątny o wierzchołkach   Dla dużych wartości   jest nieomalże wycinkiem kołowym o rozwartości kąta środkowego równej   radianów. Trójkąty  podobne dla wszystkich   Stąd dla dużych   punkt graniczny ciągu   jest punktem okręgu jednostkowego, którego kąt liczony od dodatniej osi rzeczywistej wynosi   radianów. Współrzędnymi biegunowymi (postacią trygonometryczną) tego punktu są   a współrzędnymi prostokątnymi (postacią algebraiczną) para   W ten sposób   Zależność ta nazywana jest wzorem Eulera i łączy ona algebrę z trygonometrią poprzez liczby zespolone.

Rozwiązaniem równania   są całkowite wielokrotności  

 

Ogólniej, jeśli   to każde rozwiązanie   może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności   do  

 

Zespolona funkcja wykładnicza jest zatem funkcją okresową o okresie głównym  

Ostatecznie:

 
 

Ze wzoru Eulera wynika też, że funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa spełniają zależności:

 

Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowane wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych do prostego wzoru na potęgowanie:

 

W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.

Potęgę   oblicza się jako   gdzie czynnik rzeczywisty   jest modułem, zaś   to kierunek (wraz ze zwrotem,   nazywany jest argumentem) liczby  

Potęga zespolonaEdytuj

Jeżeli   jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a   dowolną liczbą zespoloną, to potęgę   definiuje się wzorem

 

gdzie   jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania  

Jeżeli   jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej   jest funkcją wielowartościową, a różnica między jej wartościami wynosi   dla   to i funkcja wykładnicza jest określona niejednoznacznie, miewając nieskończoną liczbę wartości.

Niech   będzie dowolnie wybraną gałęzią logarytmu   wówczas:

 

czyli moduł   wynosi wtedy   zaś jej argument przyjmuje dowolną z wartości   Potęga będzie miała   wartości tylko wtedy, gdy   gdzie   i  względnie pierwsze). Jeżeli   to wygodnie jest korzystać ze wzoru de Moivre’a.

Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym   i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie tych warunków i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.

 

Funkcja potęgowaEdytuj

Osobny artykuł: funkcja potęgowa.

Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest przez potęgowanie, gdzie zmienną jest wykładnik, a podstawa jest stałą. Sytuacja odwrotna, w której ustalony jest wykładnik, a podstawa jest zmienna, również jest funkcją potęgową, co można było zaobserwować wyżej (wzór (5)). Określenie funkcji pierwiastkowej, czyli funkcji potęgowej o wykładniku będącym odwrotnością niezerowej liczby całkowitej przebiega identycznie jak wyżej. Problemem znowu staje się zdefiniowanie funkcji o wykładniku niewymiernym, jednak pokonuje się ją analogicznie i dowodzi się wielu jej własności (ciągłość, monotoniczność na przedziałach).

WłasnościEdytuj

Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym, np.   Nie jest także łączne, np.   lecz  

Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika właśnie z nieprzemienności potęgowania. Zachodzą następujące wzory:

  •  
  •  

Jeżeli mnożenie jest przemienne, to zachodzi również

  •  

Jeżeli   jest elementem odwracalnym, to

  •  

Dla   powyższy wzór oznacza:

  •  

Jeżeli tak   jak i   są odwracalne, to

  •  
Podstawa Wykładnik Potęga
całkowita dodatnia całkowity nieujemny całkowita dodatnia
całkowita całkowity nieujemny całkowita
wymierna dodatnia całkowity wymierna dodatnia
niewymierna dodatnia rzeczywisty rzeczywista dodatnia[4]
algebraiczna wymierny algebraiczna
algebraiczna różna od 0 i 1 zespolony, który nie jest liczbą wymierną przestępna[5]
przestępna wymierny różny od 0 przestępna
rzeczywista dodatnia rzeczywisty rzeczywista dodatnia
rzeczywista ujemna rzeczywisty zespolona[6]
zespolona całkowity zespolona (jednoznaczna)
zespolona wymierny zespolona (skończenie wiele wartości)
zespolona zespolony nie będący liczbą wymierną zespolona (nieskończenie wiele wartości)

Zero do potęgi zerowejEdytuj

 
Wykres   czerwone krzywe dają różne granice, gdy   dąży do   podczas gdy wszystkie zielone krzywe dają w granicy 1.

Większość autorów zgadza się z zamieszczonymi w poniższych listach stwierdzeniami dotyczącymi   lecz dochodzą do różnych wniosków, czy definiować wyrażenie   czy też nie (zob. następną podsekcję).

W większości przypadków, które nie wykorzystują ciągłości (na przykład ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie   jako   upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które wykorzystują ciągłość). Na przykład:

  • postrzeganie   jako iloczynu pustego zer sugeruje wartość równą  
  • interpretacją kombinatoryczną   jest liczba pustych krotek elementów zbioru pustego: istnieje dokładnie jedna pusta krotka;
  • równoważnie interpretacją teoriomnogościową   jest liczba funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty: istnieje dokładnie jedna taka funkcja – funkcja pusta[7];
  • znacząco upraszcza teorię wielomianów i szeregów potęgowych dzięki temu, iż wyraz wolny może być zapisany jako   dla dowolnego   np.
    • wzór na współczynniki iloczynu wielomianów straciłby na prostocie, gdyby wyrazy wolne musiałyby być traktowane oddzielnie;
    • dla dzielników zera (elementów pierścieni spełniających   ale  ) z własności potęgowania otrzymuje się  
    • tożsamości postaci   i   nie są poprawne dla   jeśli  
    • twierdzenie o dwumianie   nie jest poprawne dla   jeżeli  [8];
  • w rachunku różniczkowym wzór na różniczkę jednomianu   nie jest poprawny dla   w punkcie   gdy  

Z drugiej strony   musi być uważane za wyrażenie nieoznaczone w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:

  • jeżeli   i   są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do   (gdy   zbiega do liczby rzeczywistej bądź  ), gdzie   to funkcja   nie musi zbiegać do   Rzeczywiście, w zależności od   i   granica   może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź   albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się nieoznaczonym (ma postać nieoznaczoną)[9]
Przykładowo funkcje niżej są postaci   gdzie   dla   (zob. granica jednostronna), ale ich granice nie są równe:
 
Tak więc   jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja   dwóch zmiennych choć jest ciągłą na zbiorze   nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym   nie ważne jak zdefiniuje się  [10].
  • Funkcja   jest określona dla niezerowych liczb zespolonych   przez wybranie gałęzi   i przyjęcie   ponieważ nie ma gałęzi   zdefiniowanej w   tylko w otoczeniu zera[11]. Nie istnieje funkcja holomorficzna określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z   dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych  

Historia różnych punktów widzeniaEdytuj

Różni autorzy interpretują powyższą sytuację na różne sposoby:

  • Niektórzy argumentują, że najlepsza wartość   zależy od kontekstu, przez co zdefiniowanie jej raz na zawsze jest problematyczne[12]. Zgodnie z przekonaniami Bensona (1999), „The choice whether to define   is based on convenience, not on correctness.[13] (Wybór czy definiować   jest podyktowany wygodą, a nie poprawnością).
  • Inni twierdzą, że   jest równe   Zgodnie ze s. 408 pracy Knutha (1992), „[it] has to be  ” (musi być równa  ), choć kontynuuje on: „Cauchy had good reason to consider   as an undefined limiting form” (Cauchy miał dobry powód, by uważać   za nieokreśloną postać graniczną) oraz „in this much stronger sense, the value of   is less defined than, say, the value of  ” (w tym dużo silniejszym sensie wartość   jest słabiej określona, niż powiedzmy wartość  ; wyróżnienia oryginalne)[14]

Debata trwa od przynajmniej początków XVII wieku. Wówczas większość matematyków zgadzała się z tym, że   jednak w 1821 Cauchy[15] umieścił   wraz z wyrażeniami postaci   w tablicy wyrażeń nieoznaczonych. W latach 30. XIX wieku Libri[16][17] opublikował nieprzekonujący dowód, iż   w czym wsparł go Möbius[18] błędnie twierdząc, że   jeżeli   Komentator, który podpisał się wyłącznie literą „S” podał kontrprzykład   (który może być uzyskany z jednego z powyższych przykładów, przyjmując  ), który uciszył na jakiś czas debatę z oczywistym wnioskiem, iż   nie powinno być definiowane. Więcej szczegółów można znaleźć w pracy Knutha (1992)[14].

Języki programowania i kalkulatoryEdytuj

Wśród języków programowania komputerów, które przypisują   wartość  [19], można wymienić bc, Common Lisp, Haskell, J, Java, JavaScript, LISP, MATLAB, ML, Perl, PHP, Python, R, Ruby, Scheme czy SQL. W .NET Framework metoda System.Math.Pow traktuje   jak  

Wśród aplikacji arkuszy kalkulacyjnych Microsoft Excel generuje błąd przy próbie wyznaczenia   podczas gdy OpenOffice.org w wersji 3 zwraca   Google Docs Spreadsheet również zwraca  

Kalkulator systemu Microsoft Windows, Wyszukiwarka Google[20], Derive oraz PARI/GP obliczają   równe  

Maple upraszcza   do   zaś   do   nawet, gdy nie nałożono żadnych ograniczeń na   (uproszczenia te są poprawne tylko dla  ), z kolei   ma wartość  

Mathematica upraszcza   do   nawet, gdy brak ograniczeń dla   Nie upraszcza jednak   i przyjmuje, iż   jest symbolem nieoznaczonym.

Sage upraszcza   do   nawet, jeżeli nie ograniczono w żaden sposób   Nie upraszcza   i przyjmuje, że   ma wartość  

Kalkulatory TI-83 Plus i TI-84 zwracają błąd dziedziny (Domain Error) podczas rozwiązywania   lecz TI-89 zwraca   TI-89 Titanium zwraca wartość undef.

NotacjaEdytuj

Jak wspomniano na początku, potęgowanie zapisuje się zwykle, umieszczając wykładnik w indeksie górnym za podstawą, np.   Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosuje się często zapisy     lub  

W przypadku, gdy podstawą potęgi jest liczba   (podstawa logarytmu naturalnego), to zamiast zapisu   stosuje się często zapis   (pomijając niekiedy nawiasy), gdyż dla liczb rzeczywistych potęgi liczby   pokrywają się z wartościami funkcji  

FunkcjeEdytuj

Choć zapis   dla   może oznaczać   czyli potęgę obrazu (patrz niżej), to jednak jeśli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie, to zapis   oznacza zwykle  -krotne złożenie funkcji samej ze sobą, czyli jej  -tą iterację, tzn.

 

lub dokładniej

 

Wtedy w szczególności,   oznacza funkcję odwrotną do funkcji   oznaczeniem tym zapisuje się również przeciwobraz funkcji. Ujemny, różny od -1, indeks górny oznacza już zwykle potęgę obrazu.

W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której   oznacza   dla   oraz   Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu:  

Z kolei podobny zapis   oznacza najczęściej  -tą pochodną funkcji.

ProgramowanieEdytuj

Niżej znajdują się oznaczenia potęgowania stosowane w niektórych językach programowania:

Choć w języku (Turbo) Pascal nie ma standardowej funkcji potęgowania, można ją zdefiniować następująco:

function power(x, y : real) : real;
begin
   power := exp(ln(abs(x))*y);
end;

UogólnieniaEdytuj

MacierzeEdytuj

Potęgę naturalną, a nawet całkowitą, łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, naśladując powyższe obserwacje: jest to wielokrotne mnożenie dla wykładników dodatnich i odwracanie dla wykładników ujemnych. Podniesienie dowolnej macierzy do potęgi zerowej to zgodnie z oczekiwaniami macierz jednostkowa.

Dla macierzy kwadratowych można określić funkcję   wzorem

 

Tak jak dla liczby rzeczywistych czy zespolonych, szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.

Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć wartości   na przekątnej: jeżeli

 

to

 

Jeżeli   i   jest diagonalna, to:

 

Dla macierzy nilpotentnej   wartość   można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:

 

jeśli  

Zbiory i liczby kardynalneEdytuj

Zapis   gdzie   jest zbiorem, a   liczbą naturalną oznacza najczęściej  -krotny iloczyn kartezjański zbioru  

Zapis   gdzie   i   są zbiorami, oznacza zbiór wszystkich funkcji   o dziedzinie   i przeciwdziedzinie   Zastępując zbiory ich mocami, otrzymuje się definicje potęgowania liczb kardynalnych.

Wielokrotne potęgowanieEdytuj

Osobny artykuł: notacja strzałkowa.

ZastosowaniaEdytuj

Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw. przedrostki układu SI, w szczególności w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych.

Z racji konstrukcji współczesnych komputerów w informatyce często spotyka się potęgi liczby 2. Na przykład   jest liczbą możliwych wartości zmiennej składającej się z   bitów (każdy bit może mieć wartość 0 lub 1, razem jest ich  ). Z tego powodu zwykle operuje się też wielokrotnościami liczby 2 (bądź jej pewnej potęgi). Osiem bitów tworzy oktet (lub bajt), szesnaście – słowo. Większe wartości również są wielokrotnościami liczby 2, nie zaś 10, jak wskazywałyby ich nazwy, np. kilobajt to 1 024, a nie 1 000 bajtów (Dla odróżnienia tych wielkości opracowano tzw. przedrostki dwójkowe).

Funkcji wykładnicza   czyli funkcja wykładnicza o podstawie   jest szeroko stosowana w matematyce, pojawiając się szczególnie często w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.

Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.

AlgorytmikaEdytuj

Złożoność obliczeniowa naiwnego algorytmu potęgowania (zob. wzór po (2)) wynosi   Istnieje znacznie szybszy algorytm, nazywany algorytmem szybkiego potęgowania, korzystający z metody dziel i zwyciężaj, którego złożoność obliczeniowa jest rzędu  

HistoriaEdytuj

Współczesny symbol potęgowania został wprowadzony przez Kartezjusza w dziele Geometria[21]. Oprócz współczesnej notacji Kartezjusz używał także zapisu wykładnika dokładnie nad wyrażeniem, które podnosił do potęgi[21].

Dawniej stosowano nazwy potęg oparte na kwadracie i sześcianie[22]:

Potęga Nazwa arabska Nazwa Diofantosa
a Radix (pierwiastek) Latus (flanka)/Radix
a2 Quadratum (kwadrat) Quadratum
a3 Cubus (sześcian) Cubus
a4 Quadratoquadratum/Biquadratum Quadratoquadratum
a5 Surdesolidum (głucha bryła) Quadratocubus
a6 Quadratum cubi Cubobubus
a7 Surdesolidum secundum Quadratoquadratocubus
a8 Quadrati quadrati quadratum Quadratocubocubus
a9 Cubus cubi Cubocubocubus
a10 Quadratum surdesolidi
a11 Surdesolidum tertium
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Zapis potęgowania przy użyciu indeksu górnego wprowadził Kartezjusz w XVII wieku.
  2. Lub: jedyną mierzalną w sensie Lebesgue’a.
  3. Można też przyjąć inną definicję, np.  
  4. Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może dać w wyniku liczbę wymierną, np.   może być wymierna, jeśli nie jest, to na mocy twierdzenia Gelfonda-Schneidera wymierna jest liczba  
  5. Zob. twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
  6. Potęga ujemnej liczby rzeczywistej wymaga osobnego potraktowania.
    Potęgę   w ogólnym przypadku należy traktować jako   Jednak gdy wykładnik jest wymierny i jego mianownik jest nieparzysty można napisać   gdzie pierwiastek jest pierwiastkiem arytmetycznym. Obejmuje to także wykładniki całkowite.
    W przeciwnym wypadku potęga nie jest liczbą rzeczywistą. Dla wykładników postaci   można przyjąć:
     
    Zauważmy, że ta potęga ma dwie wartości (tworzą one wraz z pozostałymi pierwiastek algebraiczny).
  7. N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III. § 3.5.
  8. „Some textbooks leave the quantity   undefined, because the functions   and   have different limiting values when   decreases to   But this is a mistake. We must define   for all   if the binomial theorem is to be valid when   and/or   The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function   is quite unimportant” (Niektóre podręczniki pozostawiają wielkość   niezdefiniowaną, ponieważ funkcje   i   mają inne wartości w granicy dla   malejącego do   Jest to jednak błąd. Musimy zdefiniować   dla wszystkich   jeżeli twierdzenie o dwumianie ma być poprawne dla   czy   Twierdzenie o dwumianie jest zbyt ważne, by było jakkolwiek ograniczane! Z drugiej strony funkcja   jest dość mało ważna)Binomial coefficients. W: Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Wyd. pierwsze. Addison Wesley Longman Publishing Co, 1989-01-05, s. 162. ISBN 0-201-14236-8.
  9. S.C. Malik, Savita Arora: Mathematical Analysis. New York: Wiley, 1992, s. 223. ISBN 978-8122403237. Cytat: In general the limit of   when   in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division   then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are   and   (W ogólności granica   dla   w przypadku, gdy granice obu funkcji są równe granicy licznika podzielonego przez mianownik. Co dzieje się, gdy obie granice są zerowe? Dzielenie   traci wtedy sens. Każdy przypadek podobny do poprzedniego nazywa się postacią nieoznaczoną. Innymi postaciami tego typu są   oraz  ).
  10. L.J. Paige. A note on indeterminate forms. „American Mathematical Monthly”. 61 (3), s. 189–190, marzec 1954. DOI: 10.2307/2307224. 
  11. (…) Let’s start at   Here   is undefined.” (Zacznijmy od     jest tutaj nieokreślone.”) Mark D. Meyerson, The Xx Spindle, „Mathematics Magazine” 69, nr 3 (czerwiec 1996), s. 198–206.
  12. Wśród przykładów można wymienić Edwardsa i Penny’ego (1994). Calculus, wyd. IV, Prentice-Hall, s. 466 oraz Keedy’ego, Bittingera i Smitha (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, s. 32.
  13. Donald C. Benson, The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. New York Oxford University Press (UK), 1999. ​ISBN 978-0-19-511721-9​.
  14. a b Donald E. Knuth, Two notes on notation, „Amer. Math. Monthly” 99 nr 5 (maj 1992), s. 403–422.
  15. Augustin-Louis Cauchy, Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique (1821). W jego Oeuvres Complètes, seria 2, tom 3.
  16. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 6 (1830), 67–72.
  17. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 10 (1833), 303–316.
  18. A.F. Möbius, Beweis der Gleichung   nach J.F. Pfaff, „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 12 (1834), 134–136.
  19. For example, see John Benito. Rationale for International Standard – Programming Languages – C. , s. 182, April 2003. 
  20. 0^0 – Recherche Google, www.google.co.uk [dostęp 2017-11-26] (fr.).
  21. a b Kartezjusz, Geometria, tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN Uniwersitas, Kraków 2015, ​ISBN 978-83-242-2759-4​, s. 15.
  22. Christian Wolff: Elementa matheseos universae. 1742.