Potencjał magnetyczny

Potencjał magnetyczny – matematyczny sposób na zdefiniowanie pola magnetycznego w elektrodynamice klasycznej. Jest on analogiczny do potencjału elektrycznego który definiuje pole elektryczne w elektrostatyce. Podobnie jak w przypadku potencjału elektrycznego potencjał magnetyczny nie jest bezpośrednio obserwowalny – mierzalne jest jedynie pole które opisuje. Są dwa sposoby na zdefiniowanie tego potencjału – jako potencjał skalarny lub jako potencjał wektorowy, który jest wykorzystywany częściej.

Magnetyczny potencjał wektorowyEdytuj

Magnetyczny potencjał wektorowy   jest trójwymiarowym polem wektorowym którego rotacja jest polem magnetycznym

 

Pole magnetyczne jest bezźródłowe (to znaczy   co wynika z prawa Gaussa), co pociąga za sobą istnienie tak zdefiniowanego potencjału   na podstawie twierdzenia Helmholtza.

Pole elektryczne dla potencjałów zależnych od czasu można zapisać w postaci

 

gdzie   jest potencjałem elektrycznym.

Wykorzystując powyższe definicje

 
 

można zauważyć, że dwa równania Maxwella dla pola magnetycznego są spełnione tożsamościowo.

Powyższe definicje nie definiują magnetycznego potencjału wektorowego jednoznacznie, gdyż, z definicji, możemy dodać dowolne bezwirowe pole wektorowe do potencjału magnetycznego bez zmiany obserwowanego pola magnetycznego. Istnieje zatem pewna swoboda w wyborze   który jest określony z dokładnością do przekształcenia cechowania.

W systemie SI, jednostką A jest V·s·m−1.

W mechanice klasycznej i kwantowej, potencjał wektorowy wchodzi do hamiltonianu opisującego cząstkę:

 

Przykład – potencjał wektorowy dla jednorodnego pola magnetycznegoEdytuj

Np. potencjałem wektorowym dla jednorodnego pola magnetycznego w dowolnym kierunku przestrzennym   jest

 

Używając tożsamości upraszczającej dla rotacji iloczynu wektorowego pól wektorowych, możemy to sprawdzić otrzymując

 

gdzie dużo składników znika ponieważ wektor   jest stały.

Skalarny potencjał magnetycznyEdytuj

Skalarny potencjał magnetyczny   jest prostszy od potencjału wektorowego, jednak można go używać jedynie w obszarach jednospójnych, w których nie występują prądy. Definiuje go równanie

 

Korzystając z prawa Ampera, dostajemy

 

Aby spełnione było prawo Gaussa, musi być spełnione równanie różniczkowe Laplace’a

 

BibliografiaEdytuj

  • David J Griffiths: Podstawy elektrodynamiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14375-4.