Kwadryka

powierzchnia stopnia drugiego

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopniapowierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne [1]:

gdzie:

przy czym nie zachodzi

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Wykresy i równania kanoniczne

edytuj

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach  

elipsoida    
    elipsoida obrotowa
    (szczególny przypadek elipsoidy)  
 
        sfera
        (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej)
 
paraboloida eliptyczna    
    paraboloida obrotowa
    (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej)
 
paraboloida hiperboliczna    
hiperboloida jednopowłokowa    
hiperboloida dwupowłokowa    
powierzchnia stożkowa    
walec eliptyczny    
    powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości
    (szczególny przypadek walca eliptycznego)
 
walec hiperboliczny    
walec paraboliczny    
przecinające się płaszczyzny  
tzw. przecinające się płaszczyzny urojone   prosta
równoległe płaszczyzny  
nakładające się płaszczyzny  
tzw. równoległe płaszczyzny urojone   zbiór pusty
tzw. elipsoida urojona   zbiór pusty
tzw. stożek urojony   pojedynczy punkt
tzw. urojony walec eliptyczny   zbiór pusty

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania

edytuj

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

 

gdzie:

 
 
 

Niezmienniki

edytuj

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi (równoważnie: przy przesuwaniu i obracaniu powierzchni względem układu współrzędnych):

 
 
 
 

Określenie typu na podstawie współczynników

edytuj

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w układzie współrzędnych.

  •   tzw. powierzchnie środkowe:
    •  
    •  
    •  
      •   pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
      •   powierzchnia stożkowa
      •   powierzchnia stożkowa
  •  
    •   paraboloidy:
    •  
      •  
        przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)
      • w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:

Przypisy

edytuj
  1. kwadryki, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-10-05].

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj