Powinowactwo prostokątne

Powinowactwo prostokątne – rodzaj powinowactwa osiowego na płaszczyźnie.

Definicja edytuj

Powinowactwo prostokątne   o osi   jest to takie powinowactwo osiowe na płaszczyźnie, w którym prosta   jest prostą punktów stałych tego przekształcenia, a wektor powinowactwa jest prostopadły do osi.
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi   dowolny punkt   i jego obraz punkt  
Stosunek powinowactwa jest to liczba   spełniająca warunek:   gdzie punkty   i   są rzutami prostokątnymi punktu   i jego obrazu   na oś  
Powinowactwo prostokątne można opisać w prostokątnym układzie współrzędnych wzorem analitycznym[1]:
 

Własności edytuj

  • Dla dowolnych punktów   i   niebędących punktami stałymi powinowactwa prostokątnego   proste   i   są równoległe.
  • Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy   to powinowactwo prostokątne staje się przekształceniem tożsamościowym.
  • Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie prostokątnym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa  
  • Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa prostokątnego nietożsamościowego jest oś powinowactwa   i wszystkie proste prostopadłe do osi powinowactwa.
  • Powinowactwo prostokątne jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa   i wektor powinowactwa prostopadły do osi.
  • Powinowactwo prostokątne jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa   oraz stosunek powinowactwa  
  • Symetria osiowa jest powinowactwem prostokątnym, w którym środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa.

Niezmienniki edytuj

  • stosunek długości równoległych odcinków
  • stosunek podziału wektora
  • stosunek pól figur

Fakty edytuj

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa prostokątnego i pewnego podobieństwa[2].

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem prostokątnym lub złożeniem dwóch albo trzech powinowactw prostokątnych. Z tego wynika, że powinowactwa prostokątne generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. P.S. Modienow, A.S. Parchomienko: Przekształcenia geometryczne. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1967, s. 96.
  2. Bednarczuk 1978 ↓, s. 51.

Bibliografia edytuj

  • Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1978.