Prędkość orbitalna

Prędkość orbitalnaprędkość, z jaką porusza się ciało po orbicie.

Orbita kołowaEdytuj

Na orbicie kołowej orbitujące ciało o masie niewielkiej w porównaniu z masą ciała centralnego porusza się po okręgu o środku w środku obieganego ciała. W ruchu tym siłą dośrodkową jest siła grawitacji, zatem:

 

i dlatego

 

gdzie:

 stała grawitacyjna,
 masa ciała okrążanego, np. planety,
  – masa ciała krążącego, np. statku kosmicznego,
 promień orbity,
  – prędkość orbitalna.

Inny sposób wyprowadzenia wzoru opisano poniżej:

Pewne ciało znajduje się na powierzchni pewnego ciała niebieskiego. Odległość od jego środka wynosi   Ciało to porusza się z pewną prędkością   w kierunku prostopadłym do prostej łączącej środki tych ciał. Po upływie niewielkiego czasu   ciało przebywa niewielką drogę   w wyniku czego wysokość ciała zmieni się o   od środka ciała niebieskiego, tak więc odległość od jego środka wynosi wówczas   Punkty: początkowego położenia ciała, końcowego położenia ciała oraz środka ciała niebieskiego, są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla tych punktów:

 

Przebywając drogę   ciało spada o   Zadanie polega więc na wyznaczeniu prędkości   z jaką ciało ma się poruszać, co sprowadza się do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi być równy czasowi spadania z wysokości tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało się w takiej samej odległości od ciała niebieskiego, dzięki czemu jego tor ruchu będzie okręgiem. Wysokość od ciała niebieskiego   na której znajduje się ciało, z której upada ono na powierzchnię po upływie czasu   dla zaniedbywalnie małych wysokości, wyraża się wzorem:

 

gdzie   jest przyspieszeniem grawitacyjnym występującym w miejscu gdzie znajduje się orbitujące ciało.

Wzór ten jest tym bardziej prawdziwy dla różniczek wysokości   i czasu   gdyż różniczka wysokości dąży do 0, a więc   jest więc zaniedbywalnie mała.

 

Podstawiając za   powyższy wzór do otrzymanej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

 

Od obu stron równania odejmujemy  

 

W ruchu jednostajnym prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie:

 

Obie strony równania podnosimy do kwadratu.

 

Podstawiając za   powyższy wzór, otrzymujemy:

 

Ponieważ   więc   Ostatecznie otrzymujemy:

 

Pierwiastkujemy obie strony równania:

 

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczyć można z zależności:

 

gdzie:

  – stała grawitacji,
  – masa ciała niebieskiego.

Podstawiając za   powyższą zależność, otrzymujemy ostatecznie wzór na pierwszą prędkość kosmiczną:

 
 

Prędkość orbitalną na orbicie kołowej można też wyznaczyć, znając okres obiegu i promień orbity

 

gdzie:

 okres orbitalny.

Orbita eliptycznaEdytuj

W przypadku orbity eliptycznej prędkość orbitalna ciała zmienia się wzdłuż orbity i jest największa w perycentrum, a najmniejsza w apocentrum orbity. Wartość tej prędkości w dowolnym punkcie orbity można wyznaczyć z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii.