Otwórz menu główne

Prawa De Morganatwierdzenia w logice matematycznej i teorii mnogości sformułowane przez angielskiego matematyka Augustusa De Morgana.

Spis treści

LogikaEdytuj

I prawo De Morgana
Prawo zaprzeczania koniunkcji: negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji
 

gdzie   i   oznaczają zdania w sensie logiki.

II prawo De Morgana
Prawo zaprzeczenia alternatywy: negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji
 

Prawa umożliwiają definiowanie jednych spójników zdaniowych za pomocą innych. Na przykład korzystając z koniunkcji i negacji, za pomocą prawa podwójnej negacji można określić alternatywę:

 

Tabele wartości logicznychEdytuj

 
             
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
 
             
1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1

Porównanie wartości w czwartej i siódmej kolumny ostatniego wiersza obu tabel (oznaczonych kolorem żółtym) daje przekonanie o prawdziwości wyrażeń

  oraz
 

bez względu na wartościowanie zmiennych   i   (ma ono zawsze wartość logiczną równą 1). Zdania takie jak nazywa się tautologiami.

Rachunek kwantyfikatorówEdytuj

W rachunku kwantyfikatorów prawa De Morgana opisują reguły zaprzeczania kwantyfikatorom:

 
 

gdzie   jest dowolnym zdaniem zależnym od zmiennej  

Teoria mnogościEdytuj

W teorii mnogości prawa De Morgana służą opisowi działania dopełnienia (lub dokładniej: różnicy zbiorów):

  1. dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień
     
  2. dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień
     

Z zasady indukcji matematycznej to samo prawo zachowane jest dla skończenie wielu zdarzeń:

 
 

gdzie  

Analogicznie wysławia się i zapisuje prawa De Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów (w powyższych wzorach należy przyjąć, że   jest taką rodziną).

Algebry Boole’aEdytuj

Jeżeli   jest zupełną algebrą Boole’a, to dla  

 
 

BibliografiaEdytuj

  • K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  • K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  • H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.