Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa

Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa mówiące, że wszystkie zdarzenia w $\sigma$-ciele ogonowym rodziny niezależnych $\sigma$-ciał są pewne lub niemożliwe.

Sformułowanie

Niech $(X_{n})_{n=1}^{\infty }$ będzie ciągiem zmiennych niezależnych. Niech ${\mathcal {F}}_{n}$ oznacza $\sigma$-ciało generowane przez zmienną $X_{n}.$ Niech ${\mathcal {F}}_{n,\infty }$ będzie $\sigma$-ciałem generowanym przez zmienne $(X_{k})_{k=n}^{\infty }.$

${\mathcal {F}}_{\infty }=\cap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n,\infty }$

nazywamy $\sigma$-ciałem ogonowym i dla każdego zdarzenia $A\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ jest $\mathbb {P} (A)=1$ albo $\mathbb {P} (A)=0.$

Intuicyjnie prawo 0-1 oznacza, że zdarzenia zależące w każdym momencie tylko od przyszłości nie podlegają losowości, gdyż żadna informacja związana z dowolnym elementem ciągu nie jest istotna nieskończenie długo.

Dowód

$\sigma$-ciało ogonowe jest $\sigma$-ciałem jako przecięcie $\sigma$-ciał. $\sigma$-ciała ${\mathcal {F}}_{n+1,\infty }$ i ${\mathcal {G}}_{n}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1},\dots ,{\mathcal {F}}_{n})$ są dla dowolnego n niezależne, co wynika z niezależności $({\mathcal {F}}_{n}).$ $A\in {\mathcal {F}}_{n+1,\infty },$ więc jest niezależne od ${\mathcal {G}}_{n}$ dla każdego n. Z lematu o π- i λ-układach zastosowanego do λ-układu zdarzeń, których dowolny skończony podzbiór spełnia warunek niezależności od A wynika, że A jest niezależne od $\sigma ({\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\dots )=\sigma ({\mathcal {F}}_{1},{\mathcal {F}}_{2},\dots )={\mathcal {F}}_{1,\infty }.$ Ponieważ $A\in {\mathcal {F}}_{1,\infty }$ zachodzi:

$\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (A\cap A)=\mathbb {P} (A)^{2},$

zatem $\mathbb {P} (A)=1$ lub $\mathbb {P} (A)=0,$ bo tylko te liczby spełniają $x^{2}=x.$

Przykłady zdarzeń z $\sigma$-ciała ogonowego

• wystąpi nieskończenie wiele zdarzeń ze zdarzeń niezależnych $A_{1},A_{2},\dots$ (Lematy Borela-Cantellego)
• szereg $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ jest zbieżny
• ciąg ${\frac {\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}{n}}$ jest ograniczony
• ciąg ${\frac {\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}{n}}$ jest zbieżny (mocne Prawo wielkich liczb)

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.brak strony w książce