Problem Waringa

W roku 1770 (XVIII w.) Edward Waring wysunął hipotezę[1], że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów (np. ). Ogólny zapis hipotezy:

Dla każdej liczby całkowitej jest liczba że każda liczba całkowita dodatnia może być zapisana jako:

z nieujemną liczbą całkowitą

Hipoteza ta została udowodniona w tym samym roku przez J.L. Lagrange’a i obecnie nazywana jest problemem Waringa.

Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi (np. 1909 – David Hilbert, 1920 – Hardy i Littlewood[2]). W roku 1909 David Hilbert wykazał[3], że dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba że każdą liczbę naturalną można zapisać za pomocą co najwyżej -tych potęg liczb naturalnych. Niech dla każdego liczba oznacza najmniejsze takie Problem Waringa pyta właśnie o wartości funkcji [4].

Kilka pierwszych wartości funkcji to:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055...

Należy zauważyć, że liczba może mieć więcej niż jedną postać jako suma -tych potęg, np.

W roku 1939 Leonard Eugene Dickson wykazał, że 23 oraz 239 to jedyne liczby wymagające sumy dziewięciu sześcianów (oznacza to, że wszystkie pozostałe liczby wymagają co najwyżej ośmiu sześcianów).

PrzypisyEdytuj

  1. E. Waring, Meditationes algebraicae, Cambridge 1770.
  2. G.H. Hardy, J.E. Littlwood // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. s. 33–54. IV: Math. Z., 1922, № 12, s. 161–188.
  3. D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // „Mathematische Annalen”, 67, s. 281–300 (1909).
  4. ACTA ARITHMETICA [1].

BibliografiaEdytuj

  • Dennis Weeks (Hg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. (ISBN 0-8218-0169-4).
  • Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. In: „Bulletin of the American Mathematical Society” 45 (1939), s. 588–591.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Eric W. Weisstein, Waring's Problem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).