Proces Lévy’ego

Proces Lévy’egoproces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w przestrzeni euklidesowej spełniający następujące warunki:

  1. -prawie wszędzie,
  2. dla każdego ciągu zmienne losowe są niezależne,
  3. rozkład nie zależy od dla każdych
  4. proces jest ciągły według prawdopodobieństwa, tzn. dla każdego i dla każdego

Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. RCLL, z fr. càdlàg) procesem Lévy’ego.

WłasnościEdytuj

Najważniejszą cechą procesów Lévy’ego, sprawiającą, że są intensywnie badane, jest ich strukturalna stabilność. Cecha ta polega na tym, że suma dowolnej liczby procesów Lévy’ego jest także procesem Lévy’ego, co pozwala spojrzeć na procesy Lévy’ego jak na uogólnienie procesów Gaussa. Jednocześnie procesy Lévy’ego w ogólności nie mają skończonej wariancji, czyli możliwe są dowolnie duże skoki wartości przy procentowym udziale takich skoków znacznie większym niż dla procesów Gaussa, gdzie wariancja jest skończona.

Wzór Lévy’egoEdytuj

Rozkład procesu Lévy’ego w momencie     jest rozkładem nieskończenie podzielnym. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy’ego w chwili   – tzw. wzór Lévy’ego-Chinczyna:

 

gdzie:

 

przy czym

  jest miarą na   spełniającą warunek
 

a   jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję   nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy’ego. Trójkę   nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy’ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.

Jeśli   to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci  

Rozkład Lévy’ego-ItōEdytuj

Proces Lévy’ego można przedstawić jako sumę

 

gdzie   jest wielowymiarym procesem Wienera z macierzą kowariancji     jest to złożony proces Poissona o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara   Proces   to czysto skokowy martyngał.

PrzykładyEdytuj

Szczególnymi przypadkami procesu Lévy’ego są:

  przy czym  

Miara prawdopodobieństwa w punkcie    

Proces Poissona jest rosnącym skokowym procesem. Ze skokami zawsze wielkości 1.

  • Proces gamma. Gęstości rozkładu gamma, z parametrami   to:  

Funkcja charakterystyczna jest postaci:  

  funkcja charakterystyczna to:
 
  • Proces Wienera. Jego funkcja charakterystyczna, przy   to:
  miara zbioru borelowskiego to:
 

Zobacz teżEdytuj