Proces Poissona

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznymprocesem Markowa) zdefiniowana w następujący sposób:

Gdzie ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem

Zmienna oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.

Równoważne definicjeEdytuj

Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności   wtedy i tylko wtedy, gdy:

(i)

  1.   W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
  2.   ma przyrosty niezależne.
  3.   różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.

(ii)

  1.  
  2.   ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
  3.  
  4.  

Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci – wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.

WłasnościEdytuj

Niech   Wtedy   ma rozkład Erlanga z parametrami  

Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.

Zobacz teżEdytuj